Mostre que a solução geral da equação (1) é dada por
v(t) = a t + k1
onde k1 é a constante de integração.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a solução geral da equação é , onde é a constante de integração. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a resolução de equações diferenciais simples, para chegar a essa solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é a equação diferencial que estamos resolvendo. Como a solução é , a equação diferencial associada provavelmente é:
Aqui, representa a derivada de em relação a , e é uma constante.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, precisamos encontrar a função cuja derivada em relação a é igual a . Isso significa que devemos integrar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 4

Vamos realizar as integrações:
Do lado esquerdo:
Aqui, é a constante de integração, que representa qualquer valor constante que pode ser adicionado à função .
Do lado direito:

Passo 5

Igualando as duas expressões obtidas após a integração:
Aqui, substituímos a constante por para simplificar a notação.

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados