Mostre que a solução geral da equação (1) é dada por
onde
é a constante de integração.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a solução geral da equação é
, onde
é a constante de integração. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a resolução de equações diferenciais simples, para chegar a essa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual é a equação diferencial que estamos resolvendo. Como a solução é
, a equação diferencial associada provavelmente é:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, e
é uma constante.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, precisamos encontrar a função
cuja derivada em relação a
é igual a
. Isso significa que devemos integrar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 4
Vamos realizar as integrações:
Do lado esquerdo:
Aqui,
é a constante de integração, que representa qualquer valor constante que pode ser adicionado à função
.
Do lado direito:
Passo 5
Igualando as duas expressões obtidas após a integração:
Aqui, substituímos a constante
por
para simplificar a notação.
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é a constante de integração.