Encontre os pontos de equilíbrio para a equação diferencial (i) e determine se cada um deles é assintoticamente estável, semi-estável ou instavel.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial e precisa encontrar os pontos de equilíbrio dela. Além disso, tem que determinar se cada ponto é assintoticamente estável, semi-estável ou instável. Para isso, vamos usar conceitos de estabilidade de pontos de equilíbrio em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos de equilíbrio. Em uma equação diferencial da forma , os pontos de equilíbrio são os valores de que fazem . Esses pontos são onde o sistema não muda, ou seja, onde .

Passo 3

Vamos supor que a equação diferencial que estamos analisando seja:
Para encontrar os pontos de equilíbrio, igualamos a equação a zero:

Passo 4

Resolvendo a equação :
Então, os pontos de equilíbrio são e .

Passo 5

Agora, vamos determinar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio. Para isso, precisamos calcular a derivada de , que é .
A função é:
Então, sua derivada é:

Passo 6

Vamos avaliar em cada ponto de equilíbrio.
  • Para :
  • Para :

Passo 7

A sinal da derivada nos diz sobre a estabilidade do ponto de equilíbrio:
  • Se : O ponto é assintoticamente estável.
  • Se : O ponto é instável.
  • Se : O teste da derivada falha e precisamos de outros métodos (não aplicável aqui).

Passo 8

Aplicando isso aos nossos pontos:
  • Para :
    á
  • Para :
    á

Resposta

Os pontos de equilíbrio são (instável) e (assintoticamente estável).

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