Encontre os pontos de equilíbrio para a equação diferencial (i) e determine se cada um deles é assintoticamente estável, semi-estável ou instavel.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial e precisa encontrar os pontos de equilíbrio dela. Além disso, tem que determinar se cada ponto é assintoticamente estável, semi-estável ou instável. Para isso, vamos usar conceitos de estabilidade de pontos de equilíbrio em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos de equilíbrio. Em uma equação diferencial da forma
, os pontos de equilíbrio são os valores de
que fazem
. Esses pontos são onde o sistema não muda, ou seja, onde
.
Passo 3
Vamos supor que a equação diferencial que estamos analisando seja:
Para encontrar os pontos de equilíbrio, igualamos a equação a zero:
Passo 4
Resolvendo a equação
:
Então, os pontos de equilíbrio são
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio. Para isso, precisamos calcular a derivada de
, que é
.
A função
é:
Então, sua derivada é:
Passo 6
Vamos avaliar
em cada ponto de equilíbrio.
- Para
:
- Para
:
Passo 7
A sinal da derivada
nos diz sobre a estabilidade do ponto de equilíbrio:
- Se
: O ponto é assintoticamente estável. - Se
: O ponto é instável. - Se
: O teste da derivada falha e precisamos de outros métodos (não aplicável aqui).
Passo 8
Aplicando isso aos nossos pontos:
-
Para
: -
Para
:
Resposta
Os pontos de equilíbrio são
(instável) e
(assintoticamente estável).
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<html><head></head><body><div>Determine as derivadas parciais da função:<br>
(e) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.797ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“14.673ex” height=“2.689ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -836.6 6485.6 1188.7”><title>w = ln(t * s) + t / s</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D464” d=“M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 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196T148 231Q131 256 131 289Z”></path></g><rect width=“531.6” height=“60” x=“120” y=“220”></rect></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
(e) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.797ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“14.673ex” height=“2.689ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -836.6 6485.6 1188.7”><title>w = ln(t * s) + t / s</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D464” d=“M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 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<html><head></head><body><div>Determine as derivadas parciais da função:<br>
(d) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.186ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“10.896ex” height=“2.341ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -952.7 4816.1 1034.7”><title>z = e(-x2 - y^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D467” d=“M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 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<html><head></head><body><div>Mostre que a solução geral da equação (1) é dada por</div>
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