Encontre os pontos de equilíbrio para a equação diferencial (i) e determine se cada um deles é assintoticamente estável, semi-estável ou instavel.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial e precisa encontrar os pontos de equilíbrio dela. Além disso, tem que determinar se cada ponto é assintoticamente estável, semi-estável ou instável. Para isso, vamos usar conceitos de estabilidade de pontos de equilíbrio em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos de equilíbrio. Em uma equação diferencial da forma
, os pontos de equilíbrio são os valores de
que fazem
. Esses pontos são onde o sistema não muda, ou seja, onde
.
Passo 3
Vamos supor que a equação diferencial que estamos analisando seja:
Para encontrar os pontos de equilíbrio, igualamos a equação a zero:
Passo 4
Resolvendo a equação
:
Então, os pontos de equilíbrio são
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio. Para isso, precisamos calcular a derivada de
, que é
.
A função
é:
Então, sua derivada é:
Passo 6
Vamos avaliar
em cada ponto de equilíbrio.
- Para
:
- Para
:
Passo 7
A sinal da derivada
nos diz sobre a estabilidade do ponto de equilíbrio:
- Se
: O ponto é assintoticamente estável. - Se
: O ponto é instável. - Se
: O teste da derivada falha e precisamos de outros métodos (não aplicável aqui).
Passo 8
Aplicando isso aos nossos pontos:
-
Para
: -
Para
:
Resposta
Os pontos de equilíbrio são
(instável) e
(assintoticamente estável).