Demonstre que o trabalho necessário para colocar quatro cargas pontuais idênticos de magnitude Q nos cantos de um quadrado de lado a é (4+raiz2) k Q^2 / a.

Passo 1

Beleza! O exercício quer saber quanto trabalho é necessário para colocar quatro cargas iguais de magnitude nos cantos de um quadrado com lado . Isso envolve conceitos de eletrostática, especialmente energia potencial elétrica entre cargas. Para resolver, vamos precisar calcular a energia necessária para posicionar cada carga levando em conta as interações com as cargas já colocadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho para trazer uma carga U = k Q1 Q2r até um ponto onde já existem outras cargas é igual à energia potencial elétrica nesse ponto. A energia potencial entre duas cargas e separadas por uma distância é dada por:
onde é a constante eletrostática ( ).

Passo 3

Vamos colocar as cargas uma por uma nos cantos do quadrado e calcular o trabalho necessário para cada colocação.
  1. Primeira carga: Ao colocar a primeira carga U2 = k Q cdot Qa = k Q^2a , não há outras cargas no quadrado, então não há trabalho necessário. Portanto, U3 = k Q cdot Qa + k Q cdot Qaraiz2 = k Q^2a + k Q^2araiz2 .
  2. Segunda carga: Ao colocar a segunda carga U4 = 2 times k Q^2a + 2 times k Q^2araiz2 = 2k Q^2a + 2k Q^2araiz2 no segundo canto, está a distância da primeira carga. O trabalho realizado é:
  1. Terceira carga: Ao colocar a terceira carga , ela está a distância de cada uma das duas primeiras cargas, mas também tem uma distância diagonal em relação à primeira carga. Então, o trabalho realizado é:
  1. Quarta carga: Finalmente, ao colocar a quarta carga , ela está a distância de duas cargas adjacentes e a distância diagonal das duas cargas diagonais. Assim, o trabalho realizado é:

Resposta

Somando todos os trabalhos realizados em cada etapa:
Utotal = U1 + U2 + U3 + U4 = 0 + k Q^2a + ( k Q^2a + k Q^2araiz2 ) + ( 2k Q^2a + 2k Q^2araiz2 )
Simplificando:
Utotal = 4k Q^2a + raiz2 , k Q^2a = (4 + raiz2) k Q^2a
Portanto, o trabalho necessário é .

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