Demonstre que o trabalho necessário para colocar quatro cargas pontuais idênticos de magnitude
nos cantos de um quadrado de lado
é
.
Passo 1
Beleza! O exercício quer saber quanto trabalho é necessário para colocar quatro cargas iguais de magnitude
nos cantos de um quadrado com lado
. Isso envolve conceitos de eletrostática, especialmente energia potencial elétrica entre cargas. Para resolver, vamos precisar calcular a energia necessária para posicionar cada carga levando em conta as interações com as cargas já colocadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho para trazer uma carga
até um ponto onde já existem outras cargas é igual à energia potencial elétrica nesse ponto. A energia potencial entre duas cargas
e
separadas por uma distância
é dada por:
onde
é a constante eletrostática (
).
Passo 3
Vamos colocar as cargas uma por uma nos cantos do quadrado e calcular o trabalho necessário para cada colocação.
-
Primeira carga: Ao colocar a primeira carga
, não há outras cargas no quadrado, então não há trabalho necessário. Portanto, . -
Segunda carga: Ao colocar a segunda carga
no segundo canto, está a distância da primeira carga. O trabalho realizado é:
- Terceira carga: Ao colocar a terceira carga
, ela está a distância de cada uma das duas primeiras cargas, mas também tem uma distância diagonal em relação à primeira carga. Então, o trabalho realizado é:
- Quarta carga: Finalmente, ao colocar a quarta carga
, ela está a distância de duas cargas adjacentes e a distância diagonal das duas cargas diagonais. Assim, o trabalho realizado é:
Resposta
Somando todos os trabalhos realizados em cada etapa:
Simplificando:
Portanto, o trabalho necessário é
.
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