Demonstre usando indução: para todo
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar, usando indução matemática, que para todo número natural
, a seguinte desigualdade vale:
Aqui, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la para provar desigualdades envolvendo produtos de números ímpares e pares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a desigualdade funciona para o caso base, que é
. A indução matemática exige que a gente prove que a afirmação é verdadeira para
antes de assumir que é válida para algum
e, então, provar para
.
Passo 3
Para
, temos:
E o lado esquerdo do produto fica:
O lado direito do produto também é
, e
. Então, temos:
Que é verdade. Assim, o caso base está confirmado.
Passo 4
Agora, vamos assumir que a desigualdade vale para algum
, ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução. Precisamos usar isso para provar que a desigualdade também vale para
.
Passo 5
Para
, o produto fica:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, multiplicando ambos os lados por
, temos:
Precisamos agora mostrar que:
Passo 6
Simplificando a expressão, temos:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Isso pode ser simplificado para:
Observando que
, a desigualdade se mantém verdadeira para todo
.
Resposta
Assim, por indução matemática, mostramos que para todo
,
é válida.
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.
Demonstre usando indução: para todo
, Se
são números reais então
Prove usando indução que se
pontos distintos sobre um círculo são conectados consecutivamente com segmentos de reta, então a soma dos ângulos internos do polígono resultante é (
2)
.
Calcule a área da região
do plano
definida por
4 e
.
Respostas: 1. (a) (b)
©
(d)
(e)
(f) (g)
(h)
. (a)
(b)
©
(d) (e)
(f)
(g)
(h)
Respostas: 1. (a)
(d)