Prove usando indução que se
pontos distintos sobre um círculo são conectados consecutivamente com segmentos de reta, então a soma dos ângulos internos do polígono resultante é (
2)
.
Passo 1
Vamos lá! Recebemos um problema que pede para provar, usando indução matemática, que a soma dos ângulos internos de um polígono formado por
pontos distintos em um círculo é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como calcular a soma dos ângulos internos de polígonos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa indução matemática. É uma técnica de prova que envolve dois passos principais:
- Caso base: Mostrar que a afirmação é verdadeira para o menor valor de
(neste caso, ). - Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para algum
e, então, provar que ela também é verdadeira para .
Isso ajuda a estabelecer que a afirmação é verdadeira para todos os valores de
a partir do caso base.
Passo 3
Caso Base (
):
Vamos verificar se a fórmula funciona para um triângulo. Um triângulo tem 3 lados e 3 ângulos internos.
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre
.
Aplicando a fórmula dada:
Está correto! O caso base confirma que a fórmula funciona para
.
Passo 4
Passo Indutivo:
Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum polígono com
lados. Ou seja, a soma dos ângulos internos é:
Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdadeiro para
, então também é verdadeiro para
.
Passo 5
Para passar de um polígono com
lados para um com
lados, podemos adicionar um lado extra. Geometricamente, isso significa adicionar um triângulo ao polígono existente.
Cada triângulo tem uma soma de ângulos internos de
. Quando adicionamos esse triângulo, o número de lados aumenta em 1, e a soma dos ângulos internos do novo polígono será a soma dos ângulos internos do polígono original mais os
do triângulo.
Passo 6
Então, a soma dos ângulos internos do polígono com
lados será:
Isso corresponde exatamente à fórmula para
:
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que a soma dos ângulos internos de um polígono com
lados é
.
Exercícios relacionados
Demonstre usando indução: para todo
,
Demonstre usando indução: para todo
.
Calcule a área da região
do plano
definida por
4 e
.
Respostas: 1. (a) (b)
©
(d)
(e)
(f) (g)
(h)
. (a)
(b)
©
(d) (e)
(f)
(g)
(h)
Respostas: 1. (a)
(d)
campo vetorial gradiente
Determine o campo vetorial gradiente da função
.
Determine o campo vetorial gradiente