Prove usando indução que se n ≥ 3 pontos distintos sobre um círculo são conectados consecutivamente com segmentos de reta, então a soma dos ângulos internos do polígono resultante é ( n 2) 180 graus.

Passo 1

Vamos lá! Recebemos um problema que pede para provar, usando indução matemática, que a soma dos ângulos internos de um polígono formado por n ≥ 3 pontos distintos em um círculo é . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como calcular a soma dos ângulos internos de polígonos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa indução matemática. É uma técnica de prova que envolve dois passos principais:
  1. Caso base: Mostrar que a afirmação é verdadeira para o menor valor de n (neste caso, ).
  2. Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para algum e, então, provar que ela também é verdadeira para .
Isso ajuda a estabelecer que a afirmação é verdadeira para todos os valores de n a partir do caso base.

Passo 3

Caso Base ( ):
Vamos verificar se a fórmula funciona para um triângulo. Um triângulo tem 3 lados e 3 ângulos internos.
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180 graus.
Aplicando a fórmula dada:
Está correto! O caso base confirma que a fórmula funciona para .

Passo 4

Passo Indutivo:
Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum polígono com lados. Ou seja, a soma dos ângulos internos é:
Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdadeiro para , então também é verdadeiro para .

Passo 5

Para passar de um polígono com k lados para um com lados, podemos adicionar um lado extra. Geometricamente, isso significa adicionar um triângulo ao polígono existente.
Cada triângulo tem uma soma de ângulos internos de 180 graus. Quando adicionamos esse triângulo, o número de lados aumenta em 1, e a soma dos ângulos internos do novo polígono será a soma dos ângulos internos do polígono original mais os 180 graus do triângulo.

Passo 6

Então, a soma dos ângulos internos do polígono com lados será:
Isso corresponde exatamente à fórmula para :

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que a soma dos ângulos internos de um polígono com n ≥ 3 lados é .

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