Calcule a área da região
do plano
definida por
4 e
.
Respostas: 1. (a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) (g)
(h)
. (a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Respostas: 1. (a)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da região
no plano
que satisfaz as duas condições seguintes:
-
– Isso descreve um círculo com centro no ponto e raio . -
– Isso representa o conjunto de pontos que estão fora ou na borda de um círculo com centro na origem e raio .
Então, a matéria envolvida aqui é geometria analítica, especificamente estudo de círculos e interseção de regiões. Vamos precisar entender equações de círculos e como calcular áreas de regiões delimitadas por eles.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar os dois círculos:
- Círculo 1:
– Centro em e raio . - Círculo 2:
– Centro em e raio .
Queremos a área dos pontos que estão dentro do Círculo 1 e fora do Círculo 2. Vamos encontrar onde esses dois círculos se intersectam para delimitar a região
.
Passo 3
Vamos encontrar as coordenadas dos pontos de interseção dos dois círculos resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos
na segunda equação para encontrar
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora que sabemos onde os círculos se encontram, vamos entender a região
. Essa região é como uma “lente” ou “olho” formada pela parte do Círculo 1 que está fora do Círculo 2.
Para calcular a área dessa região, podemos calcular a área do Círculo 1 e subtrair a área da sobreposição com o Círculo 2.
Passo 5
A área de um círculo é dada pela fórmula:
Para o Círculo 1, com raio
:
Para o Círculo 2, a área total também é
, mas queremos apenas a parte que está dentro do Círculo 1.
Passo 6
A área de sobreposição entre os dois círculos pode ser calculada usando a fórmula da área de intersecção de dois círculos de mesmo raio:
Onde:
-
-
é a distância entre os centros dos círculos.
Calculando
:
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Agora, para encontrar a área da região
, que está dentro do Círculo 1 e fora do Círculo 2, subtraímos a área de interseção da área total do Círculo 1:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Prove usando indução que se
pontos distintos sobre um círculo são conectados consecutivamente com segmentos de reta, então a soma dos ângulos internos do polígono resultante é (
2)
.
Demonstre usando indução: para todo
,
campo vetorial gradiente
Determine o campo vetorial gradiente da função
.
Determine o campo vetorial gradiente
Calcular
, em que:
;