Calcule a área da região D do plano x y definida por D = {(x, y) em R^2 : x^2 + (y - 2)^2 <=} 4 e x² + y² ≥ 4.
Respostas: 1. (a) 64 pi / 5 (b) (pi / 2) * (b^2 - a^2) © (9 / 2) * (raiz(2) + ln(raiz(2) + 1)) (d) (pi / 2) * (1 - e^(-a^2)) (e) ln(raiz(2) + 1) (f) (g) 1 / 120 (h) (pi / 4) * (1 - e^(-4)) * 2. (a) 256 pi / 3 (b) 64 / 9 © (128 / 9) * (3 * pi - 4)
(d) 625 pi / 2 (e) 4 pi (f) 4 * pi * a^3 / 3 (g) (pi / 3) * (2 - raiz(2)) (h) (8 pi / 3)(64 - 24 raiz(3)) + 4.4 pi / 3 + 2 raiz(3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da região no plano que satisfaz as duas condições seguintes:
  1. – Isso descreve um círculo com centro no ponto e raio .
  2. – Isso representa o conjunto de pontos que estão fora ou na borda de um círculo com centro na origem e raio .
Então, a matéria envolvida aqui é geometria analítica, especificamente estudo de círculos e interseção de regiões. Vamos precisar entender equações de círculos e como calcular áreas de regiões delimitadas por eles.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar os dois círculos:
  • Círculo 1: – Centro em e raio .
  • Círculo 2: – Centro em e raio .
Queremos a área dos pontos que estão dentro do Círculo 1 e fora do Círculo 2. Vamos encontrar onde esses dois círculos se intersectam para delimitar a região .

Passo 3

Vamos encontrar as coordenadas dos pontos de interseção dos dois círculos resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos na segunda equação para encontrar :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora que sabemos onde os círculos se encontram, vamos entender a região . Essa região é como uma “lente” ou “olho” formada pela parte do Círculo 1 que está fora do Círculo 2.
Para calcular a área dessa região, podemos calcular a área do Círculo 1 e subtrair a área da sobreposição com o Círculo 2.

Passo 5

A área de um círculo é dada pela fórmula:
Para o Círculo 1, com raio :
Para o Círculo 2, a área total também é , mas queremos apenas a parte que está dentro do Círculo 1.

Passo 6

A área de sobreposição entre os dois círculos pode ser calculada usando a fórmula da área de intersecção de dois círculos de mesmo raio:
çã
Onde:
  • é a distância entre os centros dos círculos.
Calculando :
â
Substituindo na fórmula:
çã

Passo 7

Agora, para encontrar a área da região , que está dentro do Círculo 1 e fora do Círculo 2, subtraímos a área de interseção da área total do Círculo 1:
çã

Resposta

A área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados

Prove usando indução que se n ≥ 3 pontos distintos sobre um círculo são conectados consecutivamente com segmentos de reta, então a soma dos ângulos internos do polígono resultante é ( n 2) 180 graus.
Demonstre usando indução: para todo n ≥ 1,
1 / (2 n) <= (1 * 3 * ... * (2 n - 1)) / (2 * 4 * ... * (2 n)) <= 1 / raiz(n + 1)
campo vetorial gradiente
Determine o campo vetorial gradiente nabla f da função f(x, y, z) = x^2 * y - y * z + z * x^2.
Calcular integral duplaR f(x, y) d x d y, em que: f(x, y)=x cos (x y) R=(x, y) mid 0 <= x <= 2,0 <= y <= pi2;