Demonstre, usando a notação de soma com um vetor qualquer V=Vi ci e nabla=ci partiali
nabla times(nabla times a)=nabla(nabla cdot a)-nabla^2 a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar uma identidade vetorial usando a notação de soma. A identidade que queremos provar é:
nabla times (nabla times a) = nabla (nabla cdot a) - nabla^2 a
Aqui, estamos trabalhando com vetores e operações de derivadas como o rotacional ( nabla times) e o divergente ( nabla cdot). Para resolver isso, vamos usar a notação de índices, que facilita a manipulação das expressões vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada operação significa na notação de índices. Temos um vetor qualquer a = ai ci, onde ai são os componentes do vetor. O operador nabla é dado por nabla = ci partiali, onde partiali representa a derivada parcial em relação à coordenada i.

Passo 3

Vamos calcular o lado esquerdo da identidade: nabla times (nabla times a). Usando a definição do rotacional na notação de índices, temos:
(nabla times b)i = epsilonijk partialj bk
Aplicando isso para b = nabla times a:
(nabla times (nabla times a))i = epsilonijk partialj (nabla times a)k
Agora, substituímos nabla times a:
(nabla times a)k = epsilonklm partiall am
Então:
(nabla times (nabla times a))i = epsilonijk partialj (epsilonklm partiall am)

Passo 4

Agora, vamos usar a propriedade dos símbolos de Levi-Civita:
epsilonijk epsilonklm = de
Substituindo na expressão anterior:
epsilonijk epsilonklm partialj partiall am = (de

Passo 5

Vamos expandir a expressão:
(de
Simplificando usando as propriedades das delta de Kronecker ( de se a = b e 0 caso contrário):
= partialj partiali aj - partialj partialj ai

Passo 6

Vamos reescrever as derivadas:
partialj partiali aj = partiali partialj aj = partiali (partialj aj) = partiali (nabla cdot a)
E:
partialj partialj ai = nabla^2 ai
Então, temos:
(nabla times (nabla times a))i = partiali (nabla cdot a) - nabla^2 ai

Passo 7

Finalmente, juntando tudo em forma vetorial:
nabla times (nabla times a) = nabla (nabla cdot a) - nabla^2 a

Resposta

A identidade foi demonstrada com sucesso:
nabla times (nabla times a) = nabla (nabla cdot a) - nabla^2 a

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