Demonstre, usando a notação de soma com um vetor qualquer
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar uma identidade vetorial usando a notação de soma. A identidade que queremos provar é:
Aqui, estamos trabalhando com vetores e operações de derivadas como o rotacional (
) e o divergente (
). Para resolver isso, vamos usar a notação de índices, que facilita a manipulação das expressões vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada operação significa na notação de índices. Temos um vetor qualquer
, onde
são os componentes do vetor. O operador nabla é dado por
, onde
representa a derivada parcial em relação à coordenada
.
Passo 3
Vamos calcular o lado esquerdo da identidade:
. Usando a definição do rotacional na notação de índices, temos:
Aplicando isso para
:
Agora, substituímos
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos usar a propriedade dos símbolos de Levi-Civita:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 5
Vamos expandir a expressão:
Simplificando usando as propriedades das delta de Kronecker (
se
e 0 caso contrário):
Passo 6
Vamos reescrever as derivadas:
E:
Então, temos:
Passo 7
Finalmente, juntando tudo em forma vetorial:
Resposta
A identidade foi demonstrada com sucesso: