Demostre que a função
é uma solução da equação diferencial
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar que a função
é uma solução da equação diferencial
Aqui, estamos lidando com séries de potências e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada de
e verificar se, ao somarmos essa derivada com a própria função, obtemos zero.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a série dada para
é a expansão em série de Taylor da função cosseno. Sabemos que:
Portanto, podemos reescrever
como:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. Sabemos que:
- A primeira derivada de
é . - A segunda derivada de
é .
Então,
e
Passo 4
Substituindo
e
na equação diferencial dada:
Resposta
Portanto, a função
satisfaz a equação diferencial
.