Demostre que a função
f(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(2 n)!
é uma solução da equação diferencial
f^n(x)+f(x)=0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar que a função
f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!
é uma solução da equação diferencial
f^(2)(x) + f(x) = 0
Aqui, estamos lidando com séries de potências e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada de e verificar se, ao somarmos essa derivada com a própria função, obtemos zero.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a série dada para cos(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)! é a expansão em série de Taylor da função cosseno. Sabemos que:
f(x) = cos(x)
Portanto, podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de f'(x) = -sin(x), . Sabemos que:
  • A primeira derivada de f''(x) = -cos(x) é .
  • A segunda derivada de é .
Então,
e

Passo 4

Substituindo f''(x) + f(x) = -cos(x) + cos(x) = 0 e na equação diferencial dada:

Resposta

Portanto, a função satisfaz a equação diferencial .

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