Se
denota o Wronskiano das funções
e
, e se
e
, encontre o Wronskiano
de
e
em função de
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções
e
e queremos encontrar o Wronskiano de duas novas funções
e
definidas como combinações lineares de
e
. O conteúdo principal aqui é o cálculo do Wronskiano, que é uma ferramenta usada para analisar a linearidade e a independência de soluções de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o Wronskiano e como lidar com combinações lineares de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano de duas funções. O Wronskiano
é definido como:
Ele nos ajuda a determinar se as funções
e
são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos definir as novas funções
e
:
Queremos encontrar
, que é o Wronskiano dessas novas funções.
Passo 4
Para calcular
, usamos a mesma definição do Wronskiano:
Vamos calcular
e
primeiro.
Passo 5
Calculando as derivadas das funções
e
:
Passo 6
Substituindo
,
,
e
na fórmula do Wronskiano:
Passo 7
Vamos expandir os termos:
Passo 8
Agora, distribuímos o sinal negativo no segundo conjunto de termos:
Passo 9
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 10
Agrupando os termos restantes:
Passo 11
Fatorando o 5:
Resposta
O Wronskiano
é igual a cinco vezes o Wronskiano
. Portanto,
Exercícios relacionados
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
i. ,
i.
Se o Wronskiano das funções
e
é
, com
, determine se
e
são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.).
Seja
uma função seccionalmente contínua com primeira derivada integrável e absolutamente integrável tal que
Mostre que
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
f.
;
f.