Se denota o Wronskiano das funções e , e se e , encontre o Wronskiano de e em função de .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções e e queremos encontrar o Wronskiano de duas novas funções e definidas como combinações lineares de e . O conteúdo principal aqui é o cálculo do Wronskiano, que é uma ferramenta usada para analisar a linearidade e a independência de soluções de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o Wronskiano e como lidar com combinações lineares de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano de duas funções. O Wronskiano é definido como:
Ele nos ajuda a determinar se as funções e são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos definir as novas funções e :
Queremos encontrar , que é o Wronskiano dessas novas funções.

Passo 4

Para calcular , usamos a mesma definição do Wronskiano:
Vamos calcular e primeiro.

Passo 5

Calculando as derivadas das funções e :

Passo 6

Substituindo , , e na fórmula do Wronskiano:

Passo 7

Vamos expandir os termos:

Passo 8

Agora, distribuímos o sinal negativo no segundo conjunto de termos:

Passo 9

Simplificando os termos semelhantes:

Passo 10

Agrupando os termos restantes:

Passo 11

Fatorando o 5:

Resposta

O Wronskiano é igual a cinco vezes o Wronskiano . Portanto,

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Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
i. ,
Se o Wronskiano das funções e é , com , determine se e são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.).
Seja uma função seccionalmente contínua com primeira derivada integrável e absolutamente integrável tal que
Mostre que
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
f.

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