Se W(f, g)(t) denota o Wronskiano das funções f(t) e g(t), e se u(t) = 2 f(t) - g(t) e v(t) = f(t) + 2 g(t), encontre o Wronskiano W(u, v)(t) de u(t) e v(t) em função de W(f, g)(t).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções e e queremos encontrar o Wronskiano de duas novas funções e definidas como combinações lineares de e . O conteúdo principal aqui é o cálculo do Wronskiano, que é uma ferramenta usada para analisar a linearidade e a independência de soluções de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o Wronskiano e como lidar com combinações lineares de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano de duas funções. O Wronskiano é definido como:
Ele nos ajuda a determinar se as funções e são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos definir as novas funções e :
Queremos encontrar , que é o Wronskiano dessas novas funções.

Passo 4

Para calcular , usamos a mesma definição do Wronskiano:
Vamos calcular e primeiro.

Passo 5

Calculando as derivadas das funções e :

Passo 6

Substituindo , , e na fórmula do Wronskiano:

Passo 7

Vamos expandir os termos:

Passo 8

Agora, distribuímos o sinal negativo no segundo conjunto de termos:

Passo 9

Simplificando os termos semelhantes:

Passo 10

Agrupando os termos restantes:

Passo 11

Fatorando o 5:

Resposta

O Wronskiano é igual a cinco vezes o Wronskiano . Portanto,

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