Se o Wronskiano das funções e é , com , determine se e são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.).
Passo 1
Beleza, então a gente tem o Wronskiano das funções e dado por . Nosso objetivo aqui é descobrir se essas funções são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.). Para isso, vamos usar o conceito de Wronskiano e entender como ele nos ajuda a determinar a independência linear das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções e é definido como:
Esse determinante nos dá uma ideia sobre a relação entre as funções. Se o Wronskiano for nunca zero em um intervalo, então as funções são linearmente independentes nesse intervalo. Se o Wronskiano for sempre zero, as funções são linearmente dependentes.
Passo 3
Agora, vamos analisar o Wronskiano que foi dado: . Para determinar se ele é sempre zero ou não, vamos resolver a equação :
Vamos calcular o discriminante dessa equação quadrática para ver se há soluções reais:
Como o discriminante é maior que zero, a equação tem duas soluções reais distintas. Isso significa que o Wronskiano se anula em dois pontos específicos.
Passo 4
Mesmo que o Wronskiano seja zero em alguns pontos, o que importa para determinar a independência linear é se ele é identicamente zero (ou seja, zero para todo valor de ). No nosso caso, não é zero para todos os valores de , apenas em dois pontos. Portanto, isso indica que as funções e são linearmente independentes no intervalo considerado.