Seja f uma função seccionalmente contínua com primeira derivada integrável e absolutamente integrável tal que
f(x)=a02+summ=1^infty am cos (m pi xL)+bm sen(m pi xL)
Mostre que
integral-L^L f^2(x) d x=a0^2 L2+summ=1^infty L am^2+L bm^2

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a integral de de a é igual a . Estamos lidando com séries de Fourier aqui, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos usar propriedades das funções ortogonais e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever f(x) = a02 + summ=1^infty ( am cos(m pi xL) + bm sen(m pi xL) ) da forma dada:
Queremos encontrar f^2(x) = ( a02 )^2 + 2 cdot a02 cdot summ=1^infty ( am cos(m pi xL) + bm sen(m pi xL) ) + ( summ=1^infty ( am cos(m pi xL) + bm sen(m pi xL) ) )^2 . Vamos expandir :

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral do primeiro termo:
integral-L^L ( a02 )^2 dx = a0^24 cdot 2L = a0^2 L2
Aqui, usamos que 2 cdot a02 cdot summ=1^infty ( am integral-L^L cos(m pi xL) dx + bm integral-L^L sen(m pi xL) dx ) .
  1. Integral do segundo termo:
Sabemos que a integral de integral-L^L ( summ=1^infty ( am cos(m pi xL) + bm sen(m pi xL) ) )^2 dx ou sobre um período completo é zero, então esse termo todo desaparece.
  1. Integral do terceiro termo:
Expandindo o quadrado, teremos termos como , e termos cruzados. Devido à ortogonalidade das funções senos e cossenos, apenas os termos onde sobrevivem após a integração.

Passo 4

Vamos focar nos termos que sobrevivem:
Sabemos que:
Isso porque summ=1^infty ( am^2 integral-L^L cos^2(m pi xL) dx + bm^2 integral-L^L sen^2(m pi xL) dx ) e têm uma média de 1/2 em um período, e a integral total resulta em integral-L^L cos^2(m pi xL) dx = integral-L^L sen^2(m pi xL) dx = L .

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão, temos:
summ=1^infty ( am^2 L + bm^2 L ) = summ=1^infty L ( am^2 + bm^2 )

Resposta

Assim, juntando todos os termos, a integral é:
integral-L^L f^2(x) , dx = a0^2 L2 + summ=1^infty L ( am^2 + bm^2 )

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