Seja
uma função seccionalmente contínua com primeira derivada integrável e absolutamente integrável tal que
Mostre que
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a integral de
de
a
é igual a
. Estamos lidando com séries de Fourier aqui, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos usar propriedades das funções ortogonais e integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever
da forma dada:
Queremos encontrar
. Vamos expandir
:
Passo 3
Vamos integrar cada termo separadamente:
- Integral do primeiro termo:
Aqui, usamos que
.
- Integral do segundo termo:
Sabemos que a integral de
ou sobre um período completo é zero, então esse termo todo desaparece.
- Integral do terceiro termo:
Expandindo o quadrado, teremos termos como
, e termos cruzados. Devido à ortogonalidade das funções senos e cossenos, apenas os termos onde
sobrevivem após a integração.
Passo 4
Vamos focar nos termos que sobrevivem:
Sabemos que:
Isso porque
e têm uma média de 1/2 em um período, e a integral total resulta em
.
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão, temos:
Resposta
Assim, juntando todos os termos, a integral é: