Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
f. y'' + y' + 5/4 y = 0
y(0) = 3
y'(0) = 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação com as condições iniciais e . O conteúdo aqui é de Equações Diferenciais Lineares de Ordem 2, e pra resolver precisamos entender como achar as soluções gerais dessas equações usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial dada. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, , e , então fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:

Passo 4

Vejo que o discriminante é negativo, o que significa que temos raízes complexas. Podemos escrever , então:

Passo 5

Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e , então a solução geral fica:

Passo 6

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de e . Primeiro, aplicamos :
Então, .

Passo 7

Em seguida, precisamos achar para aplicar a segunda condição . Vamos derivar a solução geral:
Simplificando:
Avaliado em :

Passo 8

Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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