Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
f.
;
f.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação
com as condições iniciais
e
. O conteúdo aqui é de Equações Diferenciais Lineares de Ordem 2, e pra resolver precisamos entender como achar as soluções gerais dessas equações usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial dada. Para uma equação da forma
, a equação característica é
. No nosso caso,
,
e
, então fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vejo que o discriminante
é negativo, o que significa que temos raízes complexas. Podemos escrever
, então:
Passo 5
Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
, então a solução geral fica:
Passo 6
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
. Primeiro, aplicamos
:
Então,
.
Passo 7
Em seguida, precisamos achar
para aplicar a segunda condição
. Vamos derivar a solução geral:
Simplificando:
Avaliado em
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
Exercícios relacionados
Seja
uma função seccionalmente contínua com primeira derivada integrável e absolutamente integrável tal que
Mostre que
Se
denota o Wronskiano das funções
e
, e se
e
, encontre o Wronskiano
de
e
em função de
.
Calcule a série de Fourier da função
dada por
Esboce o gráfico da função definida por esta série e use a série para obter que
Ache a equação
, esboce o gráfico e indicar a orientação:
2)
2)