Densidade corrente de deslocamento - Uma corrente por um longo solenóide de raio é variado de tal maneira que o campo magnético no seu interior varia temporalmente de acordo com a equação ; onde é uma constante. Calcule a corrente de deslocamento como função da distância do eixo central do solenoide (para e ).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre densidade de corrente de deslocamento em um solenoide longo com raio . O campo magnético dentro do solenoide está variando no tempo de acordo com , onde é uma constante. A missão é calcular a corrente de deslocamento em função da distância do eixo central, tanto para quanto para . Vamos precisar usar as equações de Maxwell, especialmente a lei de Ampère com a correção de Maxwell para corrente de deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente de deslocamento é dada por:
onde é a permissividade do vácuo e é o campo elétrico. No contexto das equações de Maxwell, a corrente de deslocamento aparece na lei de Ampère modificada:
Mas como estamos lidando com um solenoide onde o campo magnético está variando, vamos focar na taxa de variação do fluxo magnético para encontrar .

Passo 3

Vamos considerar uma superfície circular de raio ao redor do eixo do solenoide. De acordo com a lei de Ampère-Maxwell, temos:
Aqui, é a corrente total encerrada pela trajetória de integração e é o fluxo magnético através da superfície.

Passo 4

Para , o fluxo magnético é:
A taxa de variação do fluxo magnético é:

Passo 5

Substituindo na equação de Ampère-Maxwell:
Como não há corrente de condução ( ), temos:
Simplificando:

Passo 6

A corrente de deslocamento é relacionada à taxa de variação do campo elétrico. Porém, aqui estamos relacionando e diretamente pela lei de Ampère-Maxwell. Assim, podemos expressar para como:
Depois de simplificar, obtemos:

Passo 7

Para , o fluxo magnético através da superfície é:
A taxa de variação do fluxo magnético é:

Passo 8

Aplicando novamente a lei de Ampère-Maxwell:
Isolando :

Passo 9

A corrente de deslocamento para é então:
Simplificando:

Resposta

A corrente de deslocamento em função da distância do eixo central do solenoide é:

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