Densidade corrente de deslocamento - Uma corrente por um longo solenóide de raio
é variado de tal maneira que o campo magnético no seu interior varia temporalmente de acordo com a equação
; onde
é uma constante. Calcule a corrente de deslocamento como função da distância
do eixo central do solenoide (para
e
).
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre densidade de corrente de deslocamento em um solenoide longo com raio
. O campo magnético dentro do solenoide está variando no tempo de acordo com
, onde
é uma constante. A missão é calcular a corrente de deslocamento
em função da distância
do eixo central, tanto para
quanto para
. Vamos precisar usar as equações de Maxwell, especialmente a lei de Ampère com a correção de Maxwell para corrente de deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a corrente de deslocamento
é dada por:
onde
é a permissividade do vácuo e
é o campo elétrico. No contexto das equações de Maxwell, a corrente de deslocamento aparece na lei de Ampère modificada:
Mas como estamos lidando com um solenoide onde o campo magnético está variando, vamos focar na taxa de variação do fluxo magnético para encontrar
.
Passo 3
Vamos considerar uma superfície circular de raio
ao redor do eixo do solenoide. De acordo com a lei de Ampère-Maxwell, temos:
Aqui,
é a corrente total encerrada pela trajetória de integração e
é o fluxo magnético através da superfície.
Passo 4
Para
, o fluxo magnético
é:
A taxa de variação do fluxo magnético é:
Passo 5
Substituindo na equação de Ampère-Maxwell:
Como não há corrente de condução (
), temos:
Simplificando:
Passo 6
A corrente de deslocamento
é relacionada à taxa de variação do campo elétrico. Porém, aqui estamos relacionando
e
diretamente pela lei de Ampère-Maxwell. Assim, podemos expressar
para
como:
Depois de simplificar, obtemos:
Passo 7
Para
, o fluxo magnético através da superfície é:
A taxa de variação do fluxo magnético é:
Passo 8
Aplicando novamente a lei de Ampère-Maxwell:
Isolando
:
Passo 9
A corrente de deslocamento
para
é então:
Simplificando:
Resposta
A corrente de deslocamento
em função da distância
do eixo central do solenoide é:
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