Densidade corrente de deslocamento - Uma corrente por um longo solenóide de raio R é variado de tal maneira que o campo magnético no seu interior varia temporalmente de acordo com a equação B=alpha t^2; onde alpha é uma constante. Calcule a corrente de deslocamento como função da distância r do eixo central do solenoide (para r e r>R).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre densidade de corrente de deslocamento em um solenoide longo com raio . O campo magnético dentro do solenoide está variando no tempo de acordo com , onde é uma constante. A missão é calcular a corrente de deslocamento em função da distância do eixo central, tanto para quanto para . Vamos precisar usar as equações de Maxwell, especialmente a lei de Ampère com a correção de Maxwell para corrente de deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente de deslocamento Jd = varepsilon0 partial Epartial t é dada por:
nabla times B = mu0 J + mu0 varepsilon0 partial Epartial t
onde é a permissividade do vácuo e é o campo elétrico. No contexto das equações de Maxwell, a corrente de deslocamento aparece na lei de Ampère modificada:
Mas como estamos lidando com um solenoide onde o campo magnético está variando, vamos focar na taxa de variação do fluxo magnético para encontrar .

Passo 3

Vamos considerar uma superfície circular de raio oint B cdot dl = mu0 Ienc + mu0 varepsilon0 dPhiBdt ao redor do eixo do solenoide. De acordo com a lei de Ampère-Maxwell, temos:
Aqui, é a corrente total encerrada pela trajetória de integração e é o fluxo magnético através da superfície.

Passo 4

Para PhiB = B cdot pi r^2 = alpha t^2 cdot pi r^2 , o fluxo magnético dPhiBdt = 2 alpha t cdot pi r^2 é:
A taxa de variação do fluxo magnético é:

Passo 5

Substituindo na equação de Ampère-Maxwell:
B cdot 2pi r = mu0 Ienc + mu0 varepsilon0 cdot 2 alpha t cdot pi r^2
Como não há corrente de condução ( B cdot 2pi r = mu0 varepsilon0 cdot 2 alpha t cdot pi r^2 ), temos:
B = mu0 varepsilon0 alpha t r
Simplificando:

Passo 6

A corrente de deslocamento Jd(r) = varepsilon0 partial Epartial t = Bmu0 varepsilon0 alpha t r é relacionada à taxa de variação do campo elétrico. Porém, aqui estamos relacionando Jd(r) = alpha t r e diretamente pela lei de Ampère-Maxwell. Assim, podemos expressar para como:
Depois de simplificar, obtemos:

Passo 7

Para PhiB = B cdot pi R^2 = alpha t^2 cdot pi R^2 , o fluxo magnético através da superfície é:
dPhiBdt = 2 alpha t cdot pi R^2
A taxa de variação do fluxo magnético é:

Passo 8

Aplicando novamente a lei de Ampère-Maxwell:
B cdot 2pi r = mu0 varepsilon0 cdot 2 alpha t cdot pi R^2
Isolando B = mu0 varepsilon0 alpha t R^2r :

Passo 9

A corrente de deslocamento Jd(r) = varepsilon0 partial Epartial t = Bmu0 varepsilon0 alpha t R^2 / r para Jd(r) = alpha t R^2r é então:
Simplificando:

Resposta

A corrente de deslocamento Jd(r) = alpha t cdot r & para r < R alpha t cdot R^2r & para r > R em função da distância do eixo central do solenoide é:

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