Mostre que a razão da atração eletrostática para a atração gravitacional entre um elétron e um próton é independente da distância entre eles, e calcule essa razão. [carga elementar: e=1,60 times 10^-19 C, massa do próton: mp=1,67 times 10^-27 kg, massa do elétron: me=9,11 times 10^-31 kg, constante de Coulomb: k=8,99 times 10^9 N cdot m^2 cdot C^-2, constante de gravitação universal: G=6,67 times 10^-11 N cdot m^2 cdot kg^-2]

Passo 1

Aqui a gente vai entender o que a questão pede. A gente precisa mostrar que a razão entre a força de atração eletrostática e a força de atração gravitacional entre um elétron e um próton não depende da distância entre eles. Além disso, temos que calcular essa razão usando os valores das constantes fornecidas. Para isso, vamos precisar das leis de Coulomb e da Lei da Gravitação Universal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a força eletrostática entre duas partículas carregadas, que é dada pela Lei de Coulomb:
Fe = k e^2r^2
Onde:
  • Fe é a força eletrostática,
  • k é a constante de Coulomb,
  • e é a carga elementar,
  • r é a distância entre as partículas.

Passo 3

Agora, vamos calcular a força gravitacional entre o mesmo elétron e próton, usando a Lei da Gravitação Universal de Newton:
Fg = G mp mer^2
Onde:
  • Fg é a força gravitacional,
  • G é a constante de gravitação universal,
  • mp é a massa do próton,
  • me é a massa do elétron,
  • r é a distância entre as partículas.

Passo 4

Queremos encontrar a razão entre a força eletrostática e a força gravitacional:
FeFg = k e^2r^2G mp mer^2
Nesse caso, o termo r^2 aparece tanto no numerador quanto no denominador e, portanto, se cancela:
FeFg = k e^2G mp me
Percebeu? A razão não depende de r, ou seja, da distância entre o próton e o elétron.

Passo 5

Agora, vamos calcular essa razão usando os valores fornecidos:
Dados:
  • k = 8,99 times 10^9 , N cdot m^2 cdot C^-2,
  • e = 1,60 times 10^-19 C,
  • G = 6,67 times 10^-11 N cdot m^2 cdot kg^-2,
  • mp = 1,67 times 10^-27 kg,
  • me = 9,11 times 10^-31 kg.
Substituindo na fórmula:
FeFg = (8,99 times 10^9) times (1,60 times 10^-19)^2(6,67 times 10^-11) times (1,67 times 10^-27) times (9,11 times 10^-31)
Vamos calcular passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculamos e^2:
e^2 = (1,60 times 10^-19)^2 = 2,56 times 10^-38 , C^2

Passo 7

Agora, calculamos o numerador:
k e^2 = 8,99 times 10^9 times 2,56 times 10^-38 = 2,297 times 10^-28 , N cdot m^2

Passo 8

Em seguida, calculamos o denominador:
G mp me = 6,67 times 10^-11 times 1,67 times 10^-27 times 9,11 times 10^-31 = 1,010 times 10^-67 , N cdot m^2

Passo 9

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
FeFg = 2,297 times 10^-281,010 times 10^-67 approx 2,274 times 10^39

Resposta

A razão entre a força de atração eletrostática e a força de atração gravitacional entre um elétron e um próton é aproximadamente 2,3 times 10^39. Essa razão é independente da distância entre eles.

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