Mostre que a razão da atração eletrostática para a atração gravitacional entre um elétron e um próton é independente da distância entre eles, e calcule essa razão. [carga elementar:
, massa do próton:
, massa do elétron:
, constante de Coulomb:
, constante de gravitação universal:
Passo 1
Aqui a gente vai entender o que a questão pede. A gente precisa mostrar que a razão entre a força de atração eletrostática e a força de atração gravitacional entre um elétron e um próton não depende da distância entre eles. Além disso, temos que calcular essa razão usando os valores das constantes fornecidas. Para isso, vamos precisar das leis de Coulomb e da Lei da Gravitação Universal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a força eletrostática entre duas partículas carregadas, que é dada pela Lei de Coulomb:
Onde:
-
é a força eletrostática, -
é a constante de Coulomb, -
é a carga elementar, -
é a distância entre as partículas.
Passo 3
Agora, vamos calcular a força gravitacional entre o mesmo elétron e próton, usando a Lei da Gravitação Universal de Newton:
Onde:
-
é a força gravitacional, -
é a constante de gravitação universal, -
é a massa do próton, -
é a massa do elétron, -
é a distância entre as partículas.
Passo 4
Queremos encontrar a razão entre a força eletrostática e a força gravitacional:
Nesse caso, o termo
aparece tanto no numerador quanto no denominador e, portanto, se cancela:
Percebeu? A razão não depende de
, ou seja, da distância entre o próton e o elétron.
Passo 5
Agora, vamos calcular essa razão usando os valores fornecidos:
Dados:
-
, -
, -
, -
, -
.
Substituindo na fórmula:
Vamos calcular passo a passo.
Passo 6
Primeiro, calculamos
:
Passo 7
Agora, calculamos o numerador:
Passo 8
Em seguida, calculamos o denominador:
Passo 9
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
Resposta
A razão entre a força de atração eletrostática e a força de atração gravitacional entre um elétron e um próton é aproximadamente
. Essa razão é independente da distância entre eles.
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, vale
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