Mostre que a razão da atração eletrostática para a atração gravitacional entre um elétron e um próton é independente da distância entre eles, e calcule essa razão. [carga elementar: , massa do próton: , massa do elétron: , constante de Coulomb: , constante de gravitação universal:

Passo 1

Aqui a gente vai entender o que a questão pede. A gente precisa mostrar que a razão entre a força de atração eletrostática e a força de atração gravitacional entre um elétron e um próton não depende da distância entre eles. Além disso, temos que calcular essa razão usando os valores das constantes fornecidas. Para isso, vamos precisar das leis de Coulomb e da Lei da Gravitação Universal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a força eletrostática entre duas partículas carregadas, que é dada pela Lei de Coulomb:
Onde:
  • é a força eletrostática,
  • é a constante de Coulomb,
  • é a carga elementar,
  • é a distância entre as partículas.

Passo 3

Agora, vamos calcular a força gravitacional entre o mesmo elétron e próton, usando a Lei da Gravitação Universal de Newton:
Onde:
  • é a força gravitacional,
  • é a constante de gravitação universal,
  • é a massa do próton,
  • é a massa do elétron,
  • é a distância entre as partículas.

Passo 4

Queremos encontrar a razão entre a força eletrostática e a força gravitacional:
Nesse caso, o termo aparece tanto no numerador quanto no denominador e, portanto, se cancela:
Percebeu? A razão não depende de , ou seja, da distância entre o próton e o elétron.

Passo 5

Agora, vamos calcular essa razão usando os valores fornecidos:
Dados:
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .
Substituindo na fórmula:
Vamos calcular passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculamos :

Passo 7

Agora, calculamos o numerador:

Passo 8

Em seguida, calculamos o denominador:

Passo 9

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:

Resposta

A razão entre a força de atração eletrostática e a força de atração gravitacional entre um elétron e um próton é aproximadamente . Essa razão é independente da distância entre eles.

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