Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês num concurso, 20 obtiveram nota mínima para aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que:
1- 14 não obtiveram a nota mínima em matemática
2- 16 não obtiveram a nota mínima em português
3- 12 não obtiveram a nota mínima em inglês
4- 5 não obtiveram a nota mínima em matemática e em português
5- 3 não obtiveram a nota mínima em matemática e em inglês
6- 7 não obtiveram a nota mínima em português e em inglês
7- 2 não obtiveram a nota mínima em português, matemática e inglês A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi:
A) 44 B) 46
C) 47 D) 48
E) 49​

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício nos diz. Temos candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês num concurso. Sabemos que 20 candidatos obteram a nota mínima nas três disciplinas. Também temos informações sobre quantos não obtiveram a nota mínima em cada disciplina e nas combinações delas. O conteúdo que vamos usar para resolver é o de Análise de Conjuntos e a Princípio da Inclusão-Exclusão. Precisamos calcular o total de candidatos que participaram do concurso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os conjuntos:
  • $ M $: candidatos que não obtiveram a nota mínima em Matemática.
  • $ P $: candidatos que não obtiveram a nota mínima em Português.
  • $ I $: candidatos que não obtiveram a nota mínima em Inglês.
Segundo o enunciado:
  • M
  • P
  • I
  • |M| = 14
  • |P| = 16
  • |I| = 12
  • |M cap P| = 5

Passo 3

Queremos encontrar o total de candidatos $ N $. Sabemos que 20 obtiveram a nota mínima nas três disciplinas, ou seja, não estão em nenhum dos conjuntos $ M $, $ P $ ou $ I $. Então, o total de candidatos que não passaram em pelo menos uma matéria é dado pela união dos conjuntos $ M \cup P \cup I $.
Usamos a fórmula da inclusão-exclusão para três conjuntos:
N

Passo 4

Substituindo os valores:
|M cup P cup I| = 14 + 16 + 12 - 5 - 3 - 7 + 2
|M cup P cup I| = 42 - 15 + 2 = 29
Isso significa que 29 candidatos não passaram em pelo menos uma disciplina.

Passo 5

Como 20 candidatos passaram nas três disciplinas, o total de candidatos $ N $ é a soma dos que passaram nas três e dos que não passaram em pelo menos uma:
N

Resposta

A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi 49. A alternativa correta é a letra E.

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