Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês num concurso, 20 obtiveram nota mínima para aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que:
1- 14 não obtiveram a nota mínima em matemática
2- 16 não obtiveram a nota mínima em português
3- 12 não obtiveram a nota mínima em inglês
4- 5 não obtiveram a nota mínima em matemática e em português
5- 3 não obtiveram a nota mínima em matemática e em inglês
6- 7 não obtiveram a nota mínima em português e em inglês
7- 2 não obtiveram a nota mínima em português, matemática e inglês A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi:
A) 44 B) 46
C) 47 D) 48
E) 49
1- 14 não obtiveram a nota mínima em matemática
2- 16 não obtiveram a nota mínima em português
3- 12 não obtiveram a nota mínima em inglês
4- 5 não obtiveram a nota mínima em matemática e em português
5- 3 não obtiveram a nota mínima em matemática e em inglês
6- 7 não obtiveram a nota mínima em português e em inglês
7- 2 não obtiveram a nota mínima em português, matemática e inglês A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi:
A) 44 B) 46
C) 47 D) 48
E) 49
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício nos diz. Temos candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês num concurso. Sabemos que 20 candidatos obteram a nota mínima nas três disciplinas. Também temos informações sobre quantos não obtiveram a nota mínima em cada disciplina e nas combinações delas. O conteúdo que vamos usar para resolver é o de Análise de Conjuntos e a Princípio da Inclusão-Exclusão. Precisamos calcular o total de candidatos que participaram do concurso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os conjuntos:
- $ M $: candidatos que não obtiveram a nota mínima em Matemática.
- $ P $: candidatos que não obtiveram a nota mínima em Português.
- $ I $: candidatos que não obtiveram a nota mínima em Inglês.
Segundo o enunciado:
Passo 3
Queremos encontrar o total de candidatos $ N $. Sabemos que 20 obtiveram a nota mínima nas três disciplinas, ou seja, não estão em nenhum dos conjuntos $ M $, $ P $ ou $ I $. Então, o total de candidatos que não passaram em pelo menos uma matéria é dado pela união dos conjuntos $ M \cup P \cup I $.
Usamos a fórmula da inclusão-exclusão para três conjuntos:
Passo 4
Substituindo os valores:
Isso significa que 29 candidatos não passaram em pelo menos uma disciplina.
Passo 5
Como 20 candidatos passaram nas três disciplinas, o total de candidatos $ N $ é a soma dos que passaram nas três e dos que não passaram em pelo menos uma:
Resposta
A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi 49. A alternativa correta é a letra E.