Dentre 6 números positivos e 6 números negativos, de quantos modos podemos escolher 4 números cujos produtos seja positivo?

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos 6 números positivos e 6 números negativos. Precisamos descobrir de quantas maneiras podemos escolher 4 números de modo que o produto desses números seja positivo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinações e propriedades de sinais na multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto de números positivos sempre dá positivo, e o produto de dois números negativos também dá positivo. Portanto, para que o produto de 4 números seja positivo, podemos ter:
  1. Todos os 4 números são positivos.
  2. Dois números são positivos e dois são negativos.
  3. Todos os 4 números são negativos.
Vamos calcular cada uma dessas possibilidades.

Passo 3

1. Todos os 4 números são positivos:
Como temos 6 números positivos, queremos escolher 4 deles. Usamos a combinação, que é calculada pela fórmula:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde $ n $ é o total de elementos e $ k $ é o número de elementos a serem escolhidos.
Então, o número de maneiras de escolher 4 números positivos é:
n

Passo 4

2. Dois números são positivos e dois são negativos:
Aqui, queremos escolher 2 números positivos e 2 números negativos.
Primeiro, calculamos as combinações para cada grupo:
C(6, 2) = 6!2! times (6 - 2)! = 15
Portanto, o número de maneiras de escolher 2 positivos é 15 e o número de maneiras de escolher 2 negativos também é 15.
Para encontrar o total de combinações desse caso, multiplicamos as duas:
15 times 15 = 225

Passo 5

3. Todos os 4 números são negativos:
Agora, queremos escolher 4 números negativos de um total de 6.
Usando a combinação novamente:
C(6, 4) = 6!4! times (6 - 4)! = 15

Passo 6

Finalmente, somamos todas as possibilidades para encontrar o total de maneiras de escolher 4 números cujo produto seja positivo:
15 , (todos positivos) + 225 , (dois positivos e dois negativos) + 15 , (todos negativos) = 255

Resposta

Existem 255 maneiras de escolher 4 números cujo produto seja positivo.

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