Dentre todos os retângulos inscritos em uma semicircunferência de raio unitário, quais as dimensões do retângulo de maior área? Justificar sua resposta via CÁLCULO DIFERENCIAL!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito em uma semicircunferência com raio unitário. Isso envolve Cálculo Diferencial, que é a parte da matemática que estuda como as funções mudam e como encontrar seus máximos e mínimos. Para resolver isso, vamos precisar usar principalmente as técnicas de otimização com derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a situação para entender melhor. Imagine uma semicircunferência com raio 1, centrada na origem de um sistema de coordenadas. Queremos colocar um retângulo dentro dessa semicircunferência, de modo que os vértices superiores do retângulo toquem a curva da semicircunferência.

Passo 3

Vamos chamar a metade da largura do retângulo de . Assim, a largura total do retângulo será . A altura do retângulo será . Como os vértices superiores estão na semicircunferência, eles devem satisfazer a equação da semicircunferência:

Passo 4

Nosso objetivo é achar a área do retângulo, que é . Mas queremos maximizar essa área, então precisamos expressar apenas em termos de uma variável.

Passo 5

Vamos resolver a equação da semicircunferência para :
Agora, substituímos na expressão da área:

Passo 6

Para encontrar o valor de que maximiza a área , precisamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero. Isso nos dará os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos.

Passo 7

Vamos calcular a derivada de :
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os valores críticos:
Isso acontece quando o numerador é zero:

Passo 9

Com , podemos encontrar usando a equação da semicircunferência:

Passo 10

Portanto, as dimensões do retângulo de maior área são:
  • Largura:
  • Altura:

Resposta

As dimensões do retângulo de maior área inscrito na semicircunferência de raio 1 são largura igual a unidades e altura igual a unidades.

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