Calcule os seguintes limites aplicando os limites fundamentais.
(g) lim x infty(x^2+1x^2-3)^x^2

Passo 1

Vamos resolver o limite . Nesse exercício, vamos trabalhar com limites infinitos e usar algumas propriedades de logaritmos para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o limite de L = lim x infty(x^2+1x^2-3)^x^2 :
ln L = lim x infty x^2 cdot ln(x^2+1x^2-3)
Para facilitar o cálculo, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
x^2+1x^2-3 = x^2(1 + 1x^2)x^2(1 - 3x^2) = 1 + 1x^21 - 3x^2
Quando tende ao infinito, e tendem a zero. Assim, podemos expandir essa expressão usando a aproximação para próximo de zero.

Passo 4

Vamos aplicar a aproximação no logaritmo:
ln(1 + 1x^21 - 3x^2) approx (1x^2 + 3x^2) = 4x^2

Passo 5

Agora, substituímos essa aproximação na expressão de ln L approx lim x infty x^2 cdot 4x^2 = 4 :

Passo 6

Finalmente, para encontrar L = e^ln L = e^4 , aplicamos a função exponencial nos dois lados:

Resposta

lim x infty(x^2+1x^2-3)^x^2 = e^4

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