Dentre as transformações lineares abaixo, verificar quais são inversíveis. As que forem, determinar a inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a transformação linear definida por é inversível. Isso envolve entender um pouco sobre matrizes e determinantes. Vamos precisar montar a matriz dessa transformação e calcular seu determinante para ver se ela tem inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz. Para isso, identificamos como atua sobre os vetores da base canônica e .
Aplicando em :
Aplicando em :
Então, a matriz de é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante nos diz se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz (e, consequentemente, a transformação) é invertível.
O determinante de é dado por:
Passo 4
Como o determinante de é zero, isso significa que a matriz não é invertível. Portanto, a transformação também não é inversível.