Dentre as transformações lineares abaixo, verificar quais são inversíveis. As que forem, determinar a inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a transformação linear
definida por
é inversível. Isso envolve entender um pouco sobre matrizes e determinantes. Vamos precisar montar a matriz dessa transformação e calcular seu determinante para ver se ela tem inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação
como uma matriz. Para isso, identificamos como
atua sobre os vetores da base canônica
e
.
Aplicando
em
:
Aplicando
em
:
Então, a matriz de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz
. O determinante nos diz se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz (e, consequentemente, a transformação) é invertível.
O determinante de
é dado por:
Passo 4
Como o determinante de
é zero, isso significa que a matriz
não é invertível. Portanto, a transformação
também não é inversível.
Resposta
A transformação
não é inversível.