Dentre as transformações lineares abaixo, verificar quais são inversíveis. As que forem, determinar a inversa.
T: R^2 longrightarrow R^2 ; T(x, y, z)=(2 x-y,-4 x+2 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a transformação linear definida por é inversível. Isso envolve entender um pouco sobre matrizes e determinantes. Vamos precisar montar a matriz dessa transformação e calcular seu determinante para ver se ela tem inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação T(1, 0) = (2(1) - 0, -4(1) + 2(0)) = (2, -4) como uma matriz. Para isso, identificamos como T(0, 1) = (2(0) - 1, -4(0) + 2(1)) = (-1, 2) atua sobre os vetores da base canônica A = 2 & -1 -4 & 2 e .
Aplicando em :
Aplicando em :
Então, a matriz de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = (2)(2) - (-1)(-4) = 4 - 4 = 0 . O determinante nos diz se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz (e, consequentemente, a transformação) é invertível.
O determinante de é dado por:

Passo 4

Como o determinante de é zero, isso significa que a matriz não é invertível. Portanto, a transformação também não é inversível.

Resposta

A transformação não é inversível.

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