Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em u= (u1, u2) e v=(v1, v2) por
u+v=(u1+v1, u2+v2), a u=(0, a u2)
b) Explique por que V é fechado na adição e multiplicação por escalar;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto u + v = (u1 + v1, u2 + v2) que consiste em todos os pares ordenados de números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar são definidas de maneira específica:
a u = (0, a u2)
O conteúdo que vamos usar aqui é o de espaços vetoriais, mais especificamente, vamos verificar se é fechado sob essas operações. Fechado significa que, ao aplicar a operação dentro do conjunto, o resultado ainda pertence ao mesmo conjunto.

Passo 2

Vamos começar verificando a adição. Para isso, pegamos dois vetores quaisquer u + v = (u1 + v1, u2 + v2) e em . Ao somá-los usando a definição dada:
Como são números reais, a soma e também serão números reais. Portanto, o resultado ainda é um par ordenado de números reais, ou seja, pertence a .

Passo 3

Agora vamos verificar a multiplicação por escalar. Tomamos um vetor a u = (0, a u2) em e um escalar que é um número real. Multiplicando por usando a definição dada:
Aqui, é um número real e também é um número real, já que a multiplicação de dois números reais é real. Assim, o resultado é um par ordenado de números reais e, portanto, pertence a .

Resposta

Concluímos que é fechado tanto na adição quanto na multiplicação por escalar, pois ao aplicar essas operações em quaisquer elementos de , o resultado permanece dentro de .

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