Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em
e
por
b) Explique por que
é fechado na adição e multiplicação por escalar;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
que consiste em todos os pares ordenados de números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar são definidas de maneira específica:
O conteúdo que vamos usar aqui é o de espaços vetoriais, mais especificamente, vamos verificar se
é fechado sob essas operações. Fechado significa que, ao aplicar a operação dentro do conjunto, o resultado ainda pertence ao mesmo conjunto.
Passo 2
Vamos começar verificando a adição. Para isso, pegamos dois vetores quaisquer
e
em
. Ao somá-los usando a definição dada:
Como
são números reais, a soma
e
também serão números reais. Portanto, o resultado
ainda é um par ordenado de números reais, ou seja, pertence a
.
Passo 3
Agora vamos verificar a multiplicação por escalar. Tomamos um vetor
em
e um escalar
que é um número real. Multiplicando por
usando a definição dada:
Aqui,
é um número real e
também é um número real, já que a multiplicação de dois números reais é real. Assim, o resultado
é um par ordenado de números reais e, portanto, pertence a
.
Resposta
Concluímos que
é fechado tanto na adição quanto na multiplicação por escalar, pois ao aplicar essas operações em quaisquer elementos de
, o resultado permanece dentro de
.