O Departamento de Economia é formado por 10 professores, sendo 8 homens e 2 mulheres. Uma comissão de 4 professores será constituída, sorteando-se, ao acaso, três membros do departamento. Considere a variável aleatória : número de mulheres na comissão. Determine:
valor esperado e a variância da variável

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um departamento de Economia com 10 professores, sendo 8 homens e 2 mulheres. A gente vai formar uma comissão de 4 professores escolhendo 3 membros aleatoriamente. A variável aleatória representa o número de mulheres nessa comissão. A questão quer que a gente calcule o valor esperado e a variância da variável . Vamos precisar usar conceitos de probabilidade, combinações, e estatística básica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a probabilidade de ter 0, 1 ou 2 mulheres na comissão. Como temos 2 mulheres e 8 homens, queremos ver de quantas maneiras podemos escolher 0, 1 ou 2 mulheres e completar o resto com homens.
A fórmula para combinações é:
onde é o total de itens e é o número de itens a serem escolhidos.

Passo 3

Vamos calcular o número total de maneiras de escolher 3 professores de 10:

Passo 4

Agora, vamos calcular as maneiras de escolher 0, 1 e 2 mulheres:
  • 0 mulheres: Escolher 0 de 2 mulheres e 3 de 8 homens:
  • 1 mulher: Escolher 1 de 2 mulheres e 2 de 8 homens:
  • 2 mulheres: Escolher 2 de 2 mulheres e 1 de 8 homens:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as probabilidades de cada caso:

Passo 6

Com as probabilidades em mãos, vamos calcular o valor esperado de :

Passo 7

Agora, para achar a variância de , primeiro precisamos do valor esperado de :
A variância é dada por:

Passo 8

Agora, vamos calcular o valor esperado de . Usamos a propriedade linear do valor esperado:

Passo 9

Para a variância de , usamos a propriedade de que :

Resposta

O valor esperado de é e a variância de é .

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