O Departamento de Economia é formado por 10 professores, sendo 8 homens e 2 mulheres. Uma comissão de 4 professores será constituída, sorteando-se, ao acaso, três membros do departamento. Considere a variável aleatória
: número de mulheres na comissão. Determine:
valor esperado e a variância da variável
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um departamento de Economia com 10 professores, sendo 8 homens e 2 mulheres. A gente vai formar uma comissão de 4 professores escolhendo 3 membros aleatoriamente. A variável aleatória
representa o número de mulheres nessa comissão. A questão quer que a gente calcule o valor esperado e a variância da variável
. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade, combinações, e estatística básica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a probabilidade de ter 0, 1 ou 2 mulheres na comissão. Como temos 2 mulheres e 8 homens, queremos ver de quantas maneiras podemos escolher 0, 1 ou 2 mulheres e completar o resto com homens.
A fórmula para combinações é:
onde
é o total de itens e
é o número de itens a serem escolhidos.
Passo 3
Vamos calcular o número total de maneiras de escolher 3 professores de 10:
Passo 4
Agora, vamos calcular as maneiras de escolher 0, 1 e 2 mulheres:
- 0 mulheres: Escolher 0 de 2 mulheres e 3 de 8 homens:
- 1 mulher: Escolher 1 de 2 mulheres e 2 de 8 homens:
- 2 mulheres: Escolher 2 de 2 mulheres e 1 de 8 homens:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as probabilidades de cada caso:
Passo 6
Com as probabilidades em mãos, vamos calcular o valor esperado de
:
Passo 7
Agora, para achar a variância de
, primeiro precisamos do valor esperado de
:
A variância é dada por:
Passo 8
Agora, vamos calcular o valor esperado de
. Usamos a propriedade linear do valor esperado:
Passo 9
Para a variância de
, usamos a propriedade de que
:
Resposta
O valor esperado de
é
e a variância de
é
.