O Departamento de Economia é formado por 10 professores, sendo 8 homens e 2 mulheres. Uma comissão de 4 professores será constituída, sorteando-se, ao acaso, três membros do departamento. Considere a variável aleatória X : número de mulheres na comissão. Determine:
O valor esperado e a variância da variável Y=1-2 X

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um departamento de Economia com 10 professores, sendo 8 homens e 2 mulheres. A gente vai formar uma comissão de 4 professores escolhendo 3 membros aleatoriamente. A variável aleatória representa o número de mulheres nessa comissão. A questão quer que a gente calcule o valor esperado e a variância da variável . Vamos precisar usar conceitos de probabilidade, combinações, e estatística básica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a probabilidade de ter 0, 1 ou 2 mulheres na comissão. Como temos 2 mulheres e 8 homens, queremos ver de quantas maneiras podemos escolher 0, 1 ou 2 mulheres e completar o resto com homens.
A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
onde é o total de itens e é o número de itens a serem escolhidos.

Passo 3

Vamos calcular o número total de maneiras de escolher 3 professores de 10:
C(10, 3) = 10!3!7! = 120

Passo 4

Agora, vamos calcular as maneiras de escolher 0, 1 e 2 mulheres:
  • 0 mulheres: Escolher 0 de 2 mulheres e 3 de 8 homens:
C(2, 0) times C(8, 3) = 1 times 56 = 56
  • 1 mulher: Escolher 1 de 2 mulheres e 2 de 8 homens:
C(2, 1) times C(8, 2) = 2 times 28 = 56
  • 2 mulheres: Escolher 2 de 2 mulheres e 1 de 8 homens:
C(2, 2) times C(8, 1) = 1 times 8 = 8

Passo 5

Agora, vamos encontrar as probabilidades de cada caso:
P(X = 0) = 56120 = 715
P(X = 1) = 56120 = 715
P(X = 2) = 8120 = 115

Passo 6

Com as probabilidades em mãos, vamos calcular o valor esperado de E(X) = sum x cdot P(X = x) = 0 cdot 715 + 1 cdot 715 + 2 cdot 115 = 0 + 715 + 215 = 915 = 35 :

Passo 7

Agora, para achar a variância de E(X^2) = sum x^2 cdot P(X = x) = 0^2 cdot 715 + 1^2 cdot 715 + 2^2 cdot 115 = 0 + 715 + 415 = 1115 , primeiro precisamos do valor esperado de Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1115 - (35)^2 = 1115 - 925 = 5575 - 2775 = 2875 :
A variância é dada por:

Passo 8

Agora, vamos calcular o valor esperado de E(Y) = E(1 - 2X) = 1 - 2E(X) = 1 - 2 cdot 35 = 1 - 65 = -15 . Usamos a propriedade linear do valor esperado:

Passo 9

Para a variância de Var(Y) = Var(1 - 2X) = (-2)^2 Var(X) = 4 cdot 2875 = 11275 , usamos a propriedade de que :

Resposta

O valor esperado de é e a variância de é .

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