A função de densidade de uma variável aleatória é para , sabendo que . Encontre os valores de e

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de densidade de uma variável aleatória definida por no intervalo . A função de densidade é usada para descrever a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir certos valores. O que precisamos encontrar são os valores de e . Para isso, vamos usar duas informações importantes:
  1. A integral da função de densidade em todo o seu intervalo deve ser igual a 1, já que representa a probabilidade total.
  2. A probabilidade de estar entre 0,5 e 1 é 0,1666.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a informação de que a integral de de 0 a 2 deve ser 1. Isso porque a soma de todas as probabilidades possíveis deve ser 1. Matemáticamente, isso fica assim:
Vamos resolver essa integral:
Então, a integral completa fica:
E isso deve ser igual a 1:
çã

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda informação: . Isso significa que a integral de de 0,5 a 1 deve ser igual a 0,1666:
Vamos resolver essa integral:
Então, a integral completa fica:
Calculando:
E isso deve ser igual a 0,1666:
çã

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. (Equação 1)
  2. (Equação 2)
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, vamos simplificar a Equação 1 multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
çã
Agora, vamos simplificar a Equação 2 multiplicando todos os termos por 24 para eliminar os denominadores:
çã
Agora temos:
Vamos resolver por eliminação. Podemos multiplicar a primeira equação por 2 para igualar os coeficientes de :
çã
çã
Subtraindo a Equação 2 da Equação 1 multiplicada por 2:
Agora, substituímos o valor de na Equação 1 simplificada:

Resposta

Os valores são e , ou aproximadamente e .

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