A função de densidade de uma variável aleatória é
para
, sabendo que
. Encontre os valores de
e
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de densidade de uma variável aleatória definida por
no intervalo
. A função de densidade é usada para descrever a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir certos valores. O que precisamos encontrar são os valores de
e
. Para isso, vamos usar duas informações importantes:
- A integral da função de densidade em todo o seu intervalo deve ser igual a 1, já que representa a probabilidade total.
- A probabilidade de
estar entre 0,5 e 1 é 0,1666.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a informação de que a integral de
de 0 a 2 deve ser 1. Isso porque a soma de todas as probabilidades possíveis deve ser 1. Matemáticamente, isso fica assim:
Vamos resolver essa integral:
Então, a integral completa fica:
E isso deve ser igual a 1:
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda informação:
. Isso significa que a integral de
de 0,5 a 1 deve ser igual a 0,1666:
Vamos resolver essa integral:
Então, a integral completa fica:
Calculando:
E isso deve ser igual a 0,1666:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
-
(Equação 1) -
(Equação 2)
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, vamos simplificar a Equação 1 multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
Agora, vamos simplificar a Equação 2 multiplicando todos os termos por 24 para eliminar os denominadores:
Agora temos:
Vamos resolver por eliminação. Podemos multiplicar a primeira equação por 2 para igualar os coeficientes de
:
Subtraindo a Equação 2 da Equação 1 multiplicada por 2:
Agora, substituímos o valor de
na Equação 1 simplificada:
Resposta
Os valores são
e
, ou aproximadamente
e
.
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