A função de densidade de uma variável aleatória é f(x)=a x^2+b para 0, sabendo que P(0,5. Encontre os valores de a e b

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de densidade de uma variável aleatória definida por no intervalo . A função de densidade é usada para descrever a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir certos valores. O que precisamos encontrar são os valores de e . Para isso, vamos usar duas informações importantes:
  1. A integral da função de densidade em todo o seu intervalo deve ser igual a 1, já que representa a probabilidade total.
  2. A probabilidade de estar entre 0,5 e 1 é 0,1666.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a informação de que a integral de integral0^2 (a x^2 + b) , dx = 1 de 0 a 2 deve ser 1. Isso porque a soma de todas as probabilidades possíveis deve ser 1. Matemáticamente, isso fica assim:
integral a x^2 , dx = a3 x^3
Vamos resolver essa integral:
integral b , dx = b x
[ a3 x^3 + b x ]0^2 = a3 (2)^3 + b (2) - ( a3 (0)^3 + b (0) ) = 8a3 + 2b
Então, a integral completa fica:
8a3 + 2b = 1 (Equação 1)
E isso deve ser igual a 1:
çã

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda informação: integral0,5^1 (a x^2 + b) , dx = 0,1666 . Isso significa que a integral de integral a x^2 , dx = a3 x^3 de 0,5 a 1 deve ser igual a 0,1666:
integral b , dx = b x
Vamos resolver essa integral:
[ a3 x^3 + b x ]0,5^1 = ( a3 (1)^3 + b (1) ) - ( a3 (0,5)^3 + b (0,5) )
a3 + b - ( a3 cdot 0,125 + 0,5b ) = a3 + b - a24 - 0,5b = ( a3 - a24 ) + ( b - 0,5b )
Então, a integral completa fica:
= 7a24 + 0,5b
Calculando:
7a24 + 0,5b = 0,1666 (Equação 2)
E isso deve ser igual a 0,1666:
çã

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. 8a + 6b = 3 (Equação 1 simplificada) (Equação 1)
  2. 7a + 12b = 4 (Equação 2 simplificada) (Equação 2)
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, vamos simplificar a Equação 1 multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
16a + 12b = 6 (Equação 1 muçã
Agora, vamos simplificar a Equação 2 multiplicando todos os termos por 24 para eliminar os denominadores:
7a + 12b = 4 (Equação 2) çã
Agora temos:
  1. (16a + 12b) - (7a + 12b) = 6 - 4
  2. 9a = 2
Vamos resolver por eliminação. Podemos multiplicar a primeira equação por 2 para igualar os coeficientes de a = 29 approx 0,2222 :
8 ( 29 ) + 6b = 3 çã
169 + 6b = 3 çã
Subtraindo a Equação 2 da Equação 1 multiplicada por 2:
6b = 3 - 169 = 279 - 169 = 119
b = 1154 approx 0,2037
Agora, substituímos o valor de na Equação 1 simplificada:

Resposta

Os valores são e , ou aproximadamente e .

Exercícios relacionados