A distribuição dos rendimentos familiares, num aglomerado populacional de 10.000 famílias, é satisfatoriamente representada por uma lei normal. Sabe-se que o rendimento médio nesse aglomerado populacional é de 95 u.m. (unidades monetárias) e que a percentagem de famílias com rendimento inferior a 80 u.m. é 15.87 %. Qual o desvio padrão do rendimento dessas famílias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a distribuição dos rendimentos de 10.000 famílias, que segue uma lei normal. A gente sabe que a renda média é de 95 u.m. e que 15,87% das famílias ganham menos que 80 u.m. Nosso objetivo é descobrir qual é o desvio padrão dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a lei normal (ou distribuição normal) é uma forma de representar dados que se distribuem de maneira simétrica em torno da média. Para resolver isso, vamos usar o conceito de z-score, que nos ajuda a encontrar a posição de um valor específico em relação à média, medida em desvio padrão.

Passo 3

Sabemos que 15,87% das famílias têm renda menor que 80 u.m. Na tabela da distribuição normal padrão, isso corresponde a um z-score de aproximadamente -1. Ou seja, 80 u.m. está 1 desvio padrão abaixo da média.

Passo 4

Agora, usamos a fórmula do z-score:
z = X - musigma
Onde:
  • -1 = 80 - 95sigma é o z-score,
  • -1 = -15sigma é o valor da renda (80 u.m.),
  • sigma = 15 é a média (95 u.m.),
  • é o desvio padrão que queremos encontrar.
Substituindo os valores:
Agora, resolvemos para :

Resposta

O desvio padrão do rendimento dessas famílias é 15 u.m.

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