Seja X uma variável aleatória com função de densidade:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória
com uma função de densidade definida por duas partes diferentes:
para
e
para
. O objetivo é encontrar o valor esperado de
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de expectativas e trabalhar com integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a expressão
para facilitar o cálculo da expectativa. Usando a fórmula de expansão de quadrados, temos:
Então, a expectativa fica:
Agora, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Vamos calcular
, que é a média esperada da variável
. A definição de expectativa para uma variável contínua é a integral de
vezes a função de densidade
em todo o intervalo onde ela está definida. Então:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que é a expectativa do quadrado de
. A fórmula é semelhante:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver as integrais calculadas nos passos anteriores.
Para
:
Calculando:
Para
:
Calculando:
Resposta
Substituindo os valores de
e
na expressão de
:
Portanto,
é aproximadamente 10,60.