Seja X uma variável aleatória com função de densidade:
f(x)=cl x & 0 <= x <= 0,5 5 x-2 & 0,5 <= x <= 1
E(x-4)^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória com uma função de densidade definida por duas partes diferentes: para e para . O objetivo é encontrar o valor esperado de , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de expectativas e trabalhar com integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão (X - 4)^2 = X^2 - 8X + 16 para facilitar o cálculo da expectativa. Usando a fórmula de expansão de quadrados, temos:
E(X - 4)^2 = E(X^2) - 8E(X) + 16
Então, a expectativa fica:
Agora, precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular E(X) = integral0^0,5 x cdot f(x) , dx + integral0,5^1 x cdot f(x) , dx , que é a média esperada da variável E(X) = integral0^0,5 x cdot x , dx + integral0,5^1 x cdot (5x - 2) , dx . A definição de expectativa para uma variável contínua é a integral de E(X) = integral0^0,5 x^2 , dx + integral0,5^1 (5x^2 - 2x) , dx vezes a função de densidade em todo o intervalo onde ela está definida. Então:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular E(X^2) = integral0^0,5 x^2 cdot f(x) , dx + integral0,5^1 x^2 cdot f(x) , dx , que é a expectativa do quadrado de E(X^2) = integral0^0,5 x^2 cdot x , dx + integral0,5^1 x^2 cdot (5x - 2) , dx . A fórmula é semelhante:
E(X^2) = integral0^0,5 x^3 , dx + integral0,5^1 (5x^3 - 2x^2) , dx
Substituindo :
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver as integrais calculadas nos passos anteriores.
Para E(X) = [ x^33 ]0^0,5 + [ 5x^33 - x^2 ]0,5^1 :
E(X) = ( (0,5)^33 - 0 ) + ( ( 5 cdot 1^33 - 1^2 ) - ( 5 cdot (0,5)^33 - (0,5)^2 ) )
Calculando:
E(X) = ( 0,1253 ) + ( ( 53 - 1 ) - ( 5 cdot 0,1253 - 0,25 ) )
E(X) = 0,04167 + ( ( 1,6667 - 1 ) - ( 0,2083 - 0,25 ) )
E(X) = 0,04167 + ( 0,6667 - (-0,0417) ) = 0,04167 + 0,7084 = 0,7501
E(X^2) = [ x^44 ]0^0,5 + [ 5x^44 - 2x^33 ]0,5^1
Para E(X^2) = ( (0,5)^44 - 0 ) + ( ( 5 cdot 1^44 - 2 cdot 1^33 ) - ( 5 cdot (0,5)^44 - 2 cdot (0,5)^33 ) ) :
E(X^2) = ( 0,06254 ) + ( ( 54 - 23 ) - ( 5 cdot 0,06254 - 2 cdot 0,1253 ) )
Calculando:
E(X^2) = 0,015625 + ( ( 1,25 - 0,6667 ) - ( 0,078125 - 0,0833 ) )
E(X^2) = 0,015625 + ( 0,5833 - (-0,005175) ) = 0,015625 + 0,588475 = 0,6041

Resposta

Substituindo os valores de E(X - 4)^2 = 0,6041 - 8 cdot 0,7501 + 16 = 0,6041 - 6,0008 + 16 = 10,6033 e na expressão de :
Portanto, é aproximadamente 10,60.

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