Seja X uma variável aleatória com função de densidade:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória com uma função de densidade definida por duas partes diferentes: para e para . O objetivo é encontrar o valor esperado de , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de expectativas e trabalhar com integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão para facilitar o cálculo da expectativa. Usando a fórmula de expansão de quadrados, temos:
Então, a expectativa fica:
Agora, precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular , que é a média esperada da variável . A definição de expectativa para uma variável contínua é a integral de vezes a função de densidade em todo o intervalo onde ela está definida. Então:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular , que é a expectativa do quadrado de . A fórmula é semelhante:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver as integrais calculadas nos passos anteriores.
Para :
Calculando:
Para :
Calculando:

Resposta

Substituindo os valores de e na expressão de :
Portanto, é aproximadamente 10,60.

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Retorno
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