Para as funções abaixo indicadas, mostre que
não existe, onde
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Multivariável, especificamente analisando os limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
representa. Essa função basicamente normaliza o valor de
em relação à distância do ponto
até a origem
. A expressão
calcula essa distância.
Passo 3
Para mostrar que o limite não existe, precisamos provar que o valor do limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos de
. Vamos escolher dois caminhos diferentes e calcular o limite em cada um deles.
Passo 4
Primeiro Caminho: Ao longo do eixo
(
)
Substituindo
na função:
Para
,
; para
,
. Assim, ao se aproximar de
pelo eixo
, o limite é
ou
, dependendo da direção.
Passo 5
Segundo Caminho: Ao longo da linha
Substituindo
na função:
Novamente, para
,
; para
,
. Portanto, ao se aproximar de
pela linha
, o limite é
ou
.
Passo 6
Comparando os dois caminhos:
- Pelo eixo
, o limite pode ser ou . - Pela linha
, o limite pode ser ou .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, concluímos que o limite
não existe.
Resposta
O limite
não existe, pois valores diferentes são obtidos ao se aproximar de
por caminhos distintos.
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,
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a)
b)
c)
a)
b)
c)