Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
f(x, y)=xraizx^2+y^2

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Multivariável, especificamente analisando os limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função representa. Essa função basicamente normaliza o valor de em relação à distância do ponto até a origem . A expressão calcula essa distância.

Passo 3

Para mostrar que o limite não existe, precisamos provar que o valor do limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos de . Vamos escolher dois caminhos diferentes e calcular o limite em cada um deles.

Passo 4

Primeiro Caminho: Ao longo do eixo f(x, 0) = xraizx^2+0 = x|x| ( )
Substituindo na função:
Para , ; para , . Assim, ao se aproximar de pelo eixo , o limite é ou , dependendo da direção.

Passo 5

Segundo Caminho: Ao longo da linha f(x, x) = xraizx^2+x^2 = xraiz2x^2 = x|x|raiz2
Substituindo na função:
Novamente, para , ; para , . Portanto, ao se aproximar de pela linha , o limite é ou .

Passo 6

Comparando os dois caminhos:
  • Pelo eixo , o limite pode ser ou .
  • Pela linha , o limite pode ser ou .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe, pois valores diferentes são obtidos ao se aproximar de por caminhos distintos.

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