Utilizando a definição de limite, prove formalmente que: lim (x, y) (1,3) 2 x+5 y-1=16,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar, usando a definição de limite, que quando os valores de e se aproximam de e respectivamente, a expressão se aproxima de . Para isso, vamos precisar conhecer a definição formal de limite e aplicar algumas propriedades básicas de álgebra.

Passo 2

A definição de limite para funções de duas variáveis diz que significa que, para qualquer , existe um tal que sempre que , então . Neste caso, , e .

Passo 3

Vamos aplicar a definição ao nosso caso específico. Queremos que , ou seja, . Nosso objetivo é encontrar um em termos de que satisfaça essa desigualdade sempre que .

Passo 4

Vamos simplificar 2(1 + h) + 5(3 + k) - 17 = 2 + 2h + 15 + 5k - 17 = 2h + 5k . Substituindo e , onde e são pequenos incrementos em e , temos:
Então, .

Passo 5

Agora, usamos a desigualdade triangular para estimar |2h + 5k| <= 2|h| + 5|k| :
2|h| + 5|k| <= 2de
Sabemos que , portanto e . Substituindo:
Então, temos .

Passo 6

Para garantir que , basta que . Assim, podemos escolher .

Resposta

Portanto, para todo lim (x, y) (1,3) 2x + 5y -1 =16 , se escolhermos , então sempre que , teremos . Isso prova que:

Exercícios relacionados

Um departamento de estradas de rodagem está planejando fazer uma área de descanso para motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5000 m^2 e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra?
Utilizando a definição de limite, prove formalmente que: lim (x, y) (-2,1)-x+4 y+4=10,
Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
f(x, y)=xraizx^2+y^2
Nos exercícios a seguir, calcule as integrais definidas.
integral0^1 d yraiz3 y+1 d y