Um departamento de polícia recebe em média 5 solicitações por hora. Qual a probabilidade desse departamento receber 15 solicitações no período de 8 h às 12 h ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um departamento de polícia que, em média, recebe 5 solicitações por hora. Queremos descobrir qual a probabilidade desse departamento receber exatamente 15 solicitações no período de 8h às 12h.
Esse tipo de problema envolve Distribuição de Poisson, que é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrerem em um intervalo fixo de tempo, sabendo a taxa média de ocorrência desses eventos.
Para resolver, vamos precisar:
  • Conhecer a fórmula da distribuição de Poisson.
  • Calcular a taxa média total de solicitações no período de 8h às 12h.
  • Aplicar a fórmula para encontrar a probabilidade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a taxa média total de solicitações no período de 8h às 12h. Sabemos que a taxa média é de 5 solicitações por hora.
Como o período de tempo é de 4 horas (das 8h às 12h), a taxa média total ( lambda = 5 , solicitações/hora times 4 , horas = 20 , solicitações ) será:
çõçõ

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da Distribuição de Poisson para encontrar a probabilidade de receber exatamente 15 solicitações nesse período. A fórmula é:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos.
  • é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
  • é a taxa média de ocorrências.
  • é o fatorial de .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
P(15; 20) = e^-20 times 20^1515!
Vamos calcular cada parte:
  1. : Calcula-se o valor de elevado a .
  2. : Calcula-se 20 elevado à potência de 15.
  3. : Calcula-se o fatorial de 15, que é o produto de todos os números inteiros de 1 a 15.

Passo 5

Realizando os cálculos:
  1. P(15; 20) = 2,0611536 times 10^-9 times 3,2768 times 10^191.3076744 times 10^12 approx 0,041
Agora, substituindo esses valores:

Resposta

A probabilidade de o departamento de polícia receber exatamente 15 solicitações no período de 8h às 12h é aproximadamente 4,1%.

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