Suponha que o custo de realização de um ensaio de um experimento seja R
. Se o experimento falhar, ocorrerá um custo adicional de
em virtude de serem necessárias algumas alterações antes que a próxima tentativa seja executada. Se a probabilidade de sucesso em uma tentativa qualquer é de
; se os ensaios forem independentes e se o experimento prossegue até que o primeiro sucesso seja alcançado, determine: a) a probabilidade do custo ser exatamente
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o custo de realizar um experimento que pode falhar ou ter sucesso. Cada tentativa custa R$ 1000,00, e se falhar, rola um adicional de R$ 300,00 para ajustes antes da próxima tentativa. A chance de sucesso em cada tentativa é de 20%. A gente precisa descobrir qual é a probabilidade de o custo total ser exatamente R$ 3600,00. Vamos usar conceitos de probabilidade, especialmente sobre eventos independentes e distribuições geométricas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o custo total se acumula. Cada tentativa tem um custo base de R$ 1000,00. Se a tentativa falha, adicionamos mais R$ 300,00, totalizando R$ 1300,00 por tentativa falha. Quando finalmente temos um sucesso, não precisamos mais gastar esses R$ 300,00 extras.
Passo 3
Queremos que o custo total seja R$ 3600,00. Vamos descobrir quantas tentativas isso representa. A primeira tentativa custa R$ 1000,00. Cada tentativa seguinte que falha custa R$ 1300,00. Então, se fizermos
tentativas, o custo total
será:
Passo 4
Agora, igualamos o custo total a R$ 3600,00 e resolvemos para
:
Então, serão necessárias 3 tentativas para que o custo total seja R$ 3600,00.
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade disso acontecer. Sabemos que a chance de sucesso em cada tentativa é de 20% (ou 0,2) e a de falha é de 80% (ou 0,8). Queremos que nas primeiras 2 tentativas falhem e na terceira tentativa dê certo.
A probabilidade disso é:
Passo 6
Calculando isso:
Resposta
A probabilidade do custo ser exatamente R$ 3600,00 é de 12,8%.
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com probabilidade
ou não ocorra
, ou seja, ocorre
com probabilidade
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ocorra pela primeira vez. Seja
número de repetições até que se obtenha
pela primeira vez. Então a função de probabilidade de
é dada por
pois se
, nas
repetições
não ocorre, ocorrendo na
-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição geométrica com parâmetro
e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
e
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