Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento A com probabilidade p ou não ocorra A, ou seja, ocorre A^c com probabilidade (1-p). Repetimos o experimento de forma independente até que o evento A ocorra pela primeira vez. Seja X= número de repetições até que se obtenha A pela primeira vez. Então a função de probabilidade de X é dada por
P(X=k)=(1-p)^k-1 cdot p, k=1,2,3, ldots
pois se X=k, nas k-1 repetições A não ocorre, ocorrendo na k-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória X segue uma distribuição geométrica com parâmetro p e denotamos da seguinte maneira: X sim G(p). Além disso, pode-se mostrar que E(X)=1 / p e Var(X)= (1-p) / p^2. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é p=2 / 3. Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória X que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela 1^a vez, determine: b) a probabilidade de serem necessários no máximo 3 lançamentos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre Distribuição Geométrica, que é usada quando queremos saber quantas tentativas são necessárias até que um evento específico aconteça pela primeira vez. No nosso caso, o evento específico é tirar cara em uma moeda viciada. A probabilidade de tirar cara é p = 23. A gente quer descobrir a probabilidade de precisar de no máximo 3 lançamentos para tirar a primeira cara.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “no máximo 3 lançamentos”. Isso quer dizer que a primeira cara pode ocorrer no , ou lançamento. Então, precisamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários e somar tudo no final.

Passo 3

Para resolver isso, usamos a fórmula da distribuição geométrica:
P(X = k) = (1 - p)^k-1 cdot p
Aqui, X é o número de lançamentos até a primeira cara, p é a probabilidade de tirar cara, e k é o número de lançamentos. Vamos calcular para k = 1, 2, 3.

Passo 4

Probabilidade de tirar a primeira cara no 1º lançamento ( k=1):
P(X = 1) = (1 - p)^1-1 cdot p = (1 - 23)^0 cdot 23 = 1 cdot 23 = 23
Explicação: Se a primeira tentativa já foi uma cara, não precisa de mais nada. A probabilidade é apenas p.

Passo 5

Probabilidade de tirar a primeira cara no 2º lançamento ( k=2):
P(X = 2) = (1 - p)^2-1 cdot p = (1 - 23)^1 cdot 23 = 13 cdot 23 = 29
Explicação: Aqui, a primeira tentativa deu coroa (probabilidade 1 - p = 13) e a segunda deu cara (probabilidade p = 23).

Passo 6

Probabilidade de tirar a primeira cara no 3º lançamento ( k=3):
P(X = 3) = (1 - p)^3-1 cdot p = (1 - 23)^2 cdot 23 = (13)^2 cdot 23 = 19 cdot 23 = 227
Explicação: Nesta situação, as duas primeiras tentativas deram coroa (cada uma com probabilidade 1 - p = 13) e a terceira deu cara ( p = 23).

Passo 7

Agora, para encontrar a probabilidade de no máximo 3 lançamentos, somamos as probabilidades dos três cenários:
P(X <= 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 23 + 29 + 227
Vamos somar essas frações. Primeiro, encontramos um denominador comum, que é 27:
23 = 1827, 29 = 627, 227 = 227
Então:
P(X <= 3) = 1827 + 627 + 227 = 2627

Resposta

A probabilidade de serem necessários no máximo 3 lançamentos para obter a primeira cara é 2627.

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