Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento com probabilidade ou não ocorra , ou seja, ocorre com probabilidade . Repetimos o experimento de forma independente até que o evento ocorra pela primeira vez. Seja número de repetições até que se obtenha pela primeira vez. Então a função de probabilidade de é dada por
pois se , nas repetições não ocorre, ocorrendo na -ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória segue uma distribuição geométrica com parâmetro e denotamos da seguinte maneira: . Além disso, pode-se mostrar que e . A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é . Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela vez, determine: b) a probabilidade de serem necessários no máximo 3 lançamentos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre Distribuição Geométrica, que é usada quando queremos saber quantas tentativas são necessárias até que um evento específico aconteça pela primeira vez. No nosso caso, o evento específico é tirar cara em uma moeda viciada. A probabilidade de tirar cara é . A gente quer descobrir a probabilidade de precisar de no máximo 3 lançamentos para tirar a primeira cara.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “no máximo 3 lançamentos”. Isso quer dizer que a primeira cara pode ocorrer no , ou lançamento. Então, precisamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários e somar tudo no final.

Passo 3

Para resolver isso, usamos a fórmula da distribuição geométrica:
Aqui, é o número de lançamentos até a primeira cara, é a probabilidade de tirar cara, e é o número de lançamentos. Vamos calcular para .

Passo 4

Probabilidade de tirar a primeira cara no 1º lançamento ( ):
Explicação: Se a primeira tentativa já foi uma cara, não precisa de mais nada. A probabilidade é apenas .

Passo 5

Probabilidade de tirar a primeira cara no 2º lançamento ( ):
Explicação: Aqui, a primeira tentativa deu coroa (probabilidade ) e a segunda deu cara (probabilidade ).

Passo 6

Probabilidade de tirar a primeira cara no 3º lançamento ( ):
Explicação: Nesta situação, as duas primeiras tentativas deram coroa (cada uma com probabilidade ) e a terceira deu cara ( ).

Passo 7

Agora, para encontrar a probabilidade de no máximo 3 lançamentos, somamos as probabilidades dos três cenários:
Vamos somar essas frações. Primeiro, encontramos um denominador comum, que é 27:
Então:

Resposta

A probabilidade de serem necessários no máximo 3 lançamentos para obter a primeira cara é .

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pois se , nas repetições não ocorre, ocorrendo na -ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória segue uma distribuição geométrica com parâmetro e denotamos da seguinte maneira: . Além disso, pode-se mostrar que e . A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é . Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela vez, determine: d) quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menos 0,8 de probabilidade.
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