Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento
com probabilidade
ou não ocorra
, ou seja, ocorre
com probabilidade
. Repetimos o experimento de forma independente até que o evento
ocorra pela primeira vez. Seja
número de repetições até que se obtenha
pela primeira vez. Então a função de probabilidade de
é dada por
pois se
, nas
repetições
não ocorre, ocorrendo na
-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição geométrica com parâmetro
e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
e
. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é
. Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória
que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela
vez, determine: b) a probabilidade de serem necessários no máximo 3 lançamentos.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre Distribuição Geométrica, que é usada quando queremos saber quantas tentativas são necessárias até que um evento específico aconteça pela primeira vez. No nosso caso, o evento específico é tirar cara em uma moeda viciada. A probabilidade de tirar cara é
. A gente quer descobrir a probabilidade de precisar de no máximo 3 lançamentos para tirar a primeira cara.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “no máximo 3 lançamentos”. Isso quer dizer que a primeira cara pode ocorrer no 1º, 2º ou 3º lançamento. Então, precisamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários e somar tudo no final.
Passo 3
Para resolver isso, usamos a fórmula da distribuição geométrica:
Aqui,
é o número de lançamentos até a primeira cara,
é a probabilidade de tirar cara, e
é o número de lançamentos. Vamos calcular para
.
Passo 4
Probabilidade de tirar a primeira cara no 1º lançamento (
):
Explicação: Se a primeira tentativa já foi uma cara, não precisa de mais nada. A probabilidade é apenas
.
Passo 5
Probabilidade de tirar a primeira cara no 2º lançamento (
):
Explicação: Aqui, a primeira tentativa deu coroa (probabilidade
) e a segunda deu cara (probabilidade
).
Passo 6
Probabilidade de tirar a primeira cara no 3º lançamento (
):
Explicação: Nesta situação, as duas primeiras tentativas deram coroa (cada uma com probabilidade
) e a terceira deu cara (
).
Passo 7
Agora, para encontrar a probabilidade de no máximo 3 lançamentos, somamos as probabilidades dos três cenários:
Vamos somar essas frações. Primeiro, encontramos um denominador comum, que é 27:
Então:
Resposta
A probabilidade de serem necessários no máximo 3 lançamentos para obter a primeira cara é
.