Overbooking é uma prática realizada na aviação no mundo todo. Consiste na empresa aérea vender mais bilhetes do que o disponível no voo com base na média de desistências dos voos anteriores. Uma empresa aérea possui um avião com capacidade para 100 lugares, se para um certo voo essa empresa vendeu 103 passagens e, admitindo que a probabilidade de um passageiro não comparecer para embarque é de 7 %, qual a probabilidade de algum passageiro não conseguir embarcar?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um avião com 100 lugares, mas a companhia vendeu 103 passagens. Sabemos que cada passageiro tem 7% de chance de não aparecer para o voo. A pergunta é: qual a probabilidade de algum passageiro não conseguir embarcar no avião? Ou seja, queremos saber a chance de mais de 100 pessoas aparecerem, fazendo com que pelo menos 1 fique de fora.
Vamos usar Probabilidade e Estatística, especificamente a Distribuição Binomial, porque estamos lidando com um número fixo de tentativas (passageiros), cada uma com dois resultados possíveis (aparece ou não), e as tentativas são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os parâmetros da Distribuição Binomial:
  • n = número total de passagens vendidas = 103
  • p = probabilidade de um passageiro aparecer = 1 - 0,07 = 0,93
Queremos saber a probabilidade de mais de 100 passageiros aparecerem, ou seja, 101, 102 ou 103 passageiros.

Passo 3

A fórmula da probabilidade da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • é a probabilidade de k sucessos.
  • é a probabilidade de n-k insucessos.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade para k = 101, 102 e 103 e somar esses valores para obter a probabilidade total de mais de 100 passageiros aparecerem.
Começando com k = 101:
P(X = 101) = binom103101 (0,93)^101 (0,07)^2
k = 102:
P(X = 102) = binom103102 (0,93)^102 (0,07)^1
k = 103:
P(X = 103) = binom103103 (0,93)^103 (0,07)^0

Passo 5

Agora, vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
Para k = 101:
binom103101 = 103!101! cdot 2! = 103 times 1022 = 5253
Então,
P(X = 101) = 5253 times (0,93)^101 times (0,07)^2 approx 5253 times 0,0002 times 0,0049 approx 0,0051 ou 0,51%
Para k = 102:
binom103102 = 103
Então,
P(X = 102) = 103 times (0,93)^102 times 0,07 approx 103 times 0,00018 times 0,07 approx 0,0013 ou 0,13%
Para k = 103:
binom103103 = 1
Então,
P(X = 103) = 1 times (0,93)^103 times 1 approx 0,00016 ou 0,016%

Passo 6

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter a probabilidade total de mais de 100 passageiros aparecerem:
P(X > 100) = P(X = 101) + P(X = 102) + P(X = 103) approx 0,51% + 0,13% + 0,016% = 0,656%

Resposta

A probabilidade de algum passageiro não conseguir embarcar é aproximadamente 0,66%.

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