A dependência de x em relação ao tempo é dada por x=2 t-t^2 / 2 (a) determine a velocidade média e aceleração média da partícula nos tempos t1=1 e t2=3 (b) encontre a velocidade instantânea e a aceleração instantânea © faça a figura de x vs t

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a posição de uma partícula em função do tempo , dada por . O conteúdo que vamos usar aqui é Cinemática, que estuda o movimento das partículas sem considerar suas causas. Precisamos calcular a velocidade média, a aceleração média nos tempos e , além da velocidade e aceleração instantâneas. Para isso, vamos usar as fórmulas de derivadas básicas para encontrar as velocidades e acelerações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade média entre vm = x(t2) - x(t1)t2 - t1 e x(1) = 2(1) - (1)^22 = 2 - 0,5 = 1,5 . A velocidade média ( x(3) = 2(3) - (3)^22 = 6 - 4,5 = 1,5 ) é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo:
vm = 1,5 - 1,53 - 1 = 02 = 0
Vamos calcular e :
Então:
A velocidade média entre e é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração média ( v(t) = dxdt = 2 - t ) entre v(1) = 2 - 1 = 1 e v(3) = 2 - 3 = -1 . A aceleração média é a variação da velocidade dividida pela variação do tempo. Primeiro, precisamos encontrar as velocidades nos tempos am = v(3) - v(1)3 - 1 = -1 - 12 = -22 = -1 e .
A velocidade instantânea ( ) é a derivada da posição em relação ao tempo:
Calculando as velocidades:
Então, a aceleração média é:
A aceleração média entre e é .

Passo 4

Para encontrar a velocidade instantânea, precisamos derivar a posição em relação ao tempo, como fizemos antes:
v(t) = dxdt = 2 - t
Então, a velocidade instantânea em qualquer tempo a(t) = dvdt = -1 é dada por .
A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Isso significa que a aceleração instantânea é constante e igual a em todos os tempos.

Passo 5

Por fim, para fazer o gráfico de x = 2t - t^22 versus , vamos considerar a equação da posição:
Essa é uma parábola que abre para baixo porque o coeficiente de é negativo. Podemos traçar alguns pontos:
  • Para , .
  • Para , .
  • Para , .
  • Para , (como calculamos antes).
Com esses pontos, desenhamos uma parábola que atinge o ponto mais alto em e retorna para em .

Resposta

(a) A velocidade média entre e é e a aceleração média é .
(b) A velocidade instantânea é e a aceleração instantânea é constante, .
© O gráfico de versus é uma parábola que atinge o ponto mais alto em com e passa pelos pontos , , e .

Exercícios relacionados