A dependência de
em relação ao tempo é dada por
(a) determine a velocidade média e aceleração média da partícula nos tempos
e
(b) encontre a velocidade instantânea e a aceleração instantânea © faça a figura de
vs
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a posição
de uma partícula em função do tempo
, dada por
. O conteúdo que vamos usar aqui é Cinemática, que estuda o movimento das partículas sem considerar suas causas. Precisamos calcular a velocidade média, a aceleração média nos tempos
e
, além da velocidade e aceleração instantâneas. Para isso, vamos usar as fórmulas de derivadas básicas para encontrar as velocidades e acelerações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade média entre
e
. A velocidade média (
) é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo:
Vamos calcular
e
:
Então:
A velocidade média entre
e
é 0.
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração média (
) entre
e
. A aceleração média é a variação da velocidade dividida pela variação do tempo. Primeiro, precisamos encontrar as velocidades nos tempos
e
.
A velocidade instantânea (
) é a derivada da posição em relação ao tempo:
Calculando as velocidades:
Então, a aceleração média é:
A aceleração média entre
e
é
.
Passo 4
Para encontrar a velocidade instantânea, precisamos derivar a posição em relação ao tempo, como fizemos antes:
Então, a velocidade instantânea em qualquer tempo
é dada por
.
A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Isso significa que a aceleração instantânea é constante e igual a
em todos os tempos.
Passo 5
Por fim, para fazer o gráfico de
versus
, vamos considerar a equação da posição:
Essa é uma parábola que abre para baixo porque o coeficiente de
é negativo. Podemos traçar alguns pontos:
- Para
, . - Para
, . - Para
, . - Para
, (como calculamos antes).
Com esses pontos, desenhamos uma parábola que atinge o ponto mais alto em
e retorna para
em
.
Resposta
(a) A velocidade média entre
e
é
e a aceleração média é
.
(b) A velocidade instantânea é
e a aceleração instantânea é constante,
.
© O gráfico de
versus
é uma parábola que atinge o ponto mais alto em
com
e passa pelos pontos
,
,
e
.