A posição de uma partícula com movimento 1 d é dado por x=3-4 t+t^2. Calcule a) a velocidade média no intervalo de tempo t=2 s e t=5 s b ) a velocidade e aceleração instantánea da partícula, c) faça o gráfico x(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com um problema de cinemática, que faz parte da física e estuda o movimento das partículas. A posição da partícula é dada pela função . Para resolver as perguntas, vamos precisar entender conceitos como velocidade média, velocidade instantânea e aceleração, além de saber como derivar funções e interpretar gráficos.

Passo 2

a) Calculando a velocidade média no intervalo de tempo de vmédia = x(t2) - x(t1)t2 - t1 s até x(2) = 3 - 4(2) + (2)^2 = 3 - 8 + 4 = -1 s
A velocidade média é basicamente a mudança na posição dividida pelo tempo total. A fórmula é:
x(5) = 3 - 4(5) + (5)^2 = 3 - 20 + 25 = 8 é
Vamos calcular vmédia = 8 - (-1)5 - 2 = 93 = 3 , m/s e :
Agora, aplicando na fórmula da velocidade média:
é

Passo 3

b) Calculando a velocidade e a aceleração instantâneas da partícula
Para encontrar a velocidade instantânea, a gente precisa derivar a função posição em relação ao tempo:
v(t) = dxdt = ddt(3 - 4t + t^2) = -4 + 2t
Então, a velocidade instantânea é a(t) = dvdt = ddt(-4 + 2t) = 2 .
Agora, para a aceleração instantânea, derivamos a velocidade em relação ao tempo:
A aceleração instantânea é constante e igual a .

Passo 4

c) Fazendo o gráfico de tv = --42(1) = 2
Para graficar a função posição x(2) = 3 - 4(2) + (2)^2 = -1 , vamos analisar alguns pontos:
  • Intercepto com o eixo y: Quando , .
  • Vértice da parábola: Como a função é quadrática e o coeficiente de é positivo, o gráfico será uma parábola voltada para cima. O vértice pode ser encontrado pela fórmula , onde e :
Calculando :
Então, o vértice é no ponto .
Com esses pontos, podemos desenhar a parábola que passa por e tem vértice em , abrindo para cima.

Resposta

a) A velocidade média no intervalo de s at�� s é 3 m/s.
b) A velocidade instantânea da partícula é m/s e a aceleração instantânea é 2 m/s².
c) O gráfico de é uma parábola com vértice no ponto e intercepta o eixo y em , abrindo para cima.

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