Derive a expressão para o potencial elétrico no centro da esfera indicado pelas linhas tracejadas no diagrama. Suponha que o potencial elétrico seja zero no infinito. Expresse sua resposta em termos de parâmetros dados e constantes físicas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente derivar a expressão do potencial elétrico no centro de uma esfera, considerando que o potencial no infinito é zero. Isso faz parte da matéria de Eletrostática, mais especificamente sobre potenciais elétricos e distribuição de carga. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga e integrar isso considerando a simetria da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico V = 14piepsilon0 integral dqr devido a uma carga distribuída é dado pela integral da contribuição de cada elemento de carga na distribuição. A expressão geral é:
Aqui, é a constante de permissividade do vácuo e é a distância entre o ponto onde queremos calcular o potencial (o centro da esfera) e o elemento de carga .

Passo 3

Como queremos o potencial no centro da esfera, a distância V = 14piepsilon0 integral dqR de qualquer elemento de carga na superfície da esfera até o centro é constante e igual ao raio da esfera V = 14piepsilon0 R integral dq . Portanto, podemos simplificar a integral:
Perceba que é constante e pode ser tirado da integral:

Passo 4

A integral V = 14piepsilon0 R cdot Q representa a carga total da esfera. Então, substituindo isso na equação, temos:

Passo 5

Portanto, a expressão para o potencial elétrico no centro da esfera é:
V = Q4piepsilon0 R

Resposta

O potencial elétrico no centro da esfera é dado por
V = Q4piepsilon0 R

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