Derive a expressão para o potencial elétrico no centro da esfera indicado pelas linhas tracejadas no diagrama. Suponha que o potencial elétrico seja zero no infinito. Expresse sua resposta em termos de parâmetros dados e constantes físicas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente derivar a expressão do potencial elétrico no centro de uma esfera, considerando que o potencial no infinito é zero. Isso faz parte da matéria de Eletrostática, mais especificamente sobre potenciais elétricos e distribuição de carga. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga e integrar isso considerando a simetria da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico
devido a uma carga distribuída é dado pela integral da contribuição de cada elemento de carga
na distribuição. A expressão geral é:
Aqui,
é a constante de permissividade do vácuo e
é a distância entre o ponto onde queremos calcular o potencial (o centro da esfera) e o elemento de carga
.
Passo 3
Como queremos o potencial no centro da esfera, a distância
de qualquer elemento de carga na superfície da esfera até o centro é constante e igual ao raio da esfera
. Portanto, podemos simplificar a integral:
Perceba que
é constante e pode ser tirado da integral:
Passo 4
A integral
representa a carga total
da esfera. Então, substituindo isso na equação, temos:
Passo 5
Portanto, a expressão para o potencial elétrico no centro da esfera é:
Resposta
O potencial elétrico no centro da esfera é dado por