a derivada direcional da função
no ponto (2,-1) e na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente de derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma derivada direcional, calcular o gradiente da função e normalizar o vetor de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é derivada direcional. Basicamente, ela mede a taxa de variação da função
em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para encontrar essa derivada, usamos o gradiente da função e o vetor direção normalizado.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
No ponto
:
Passo 4
Agora, precisamos normalizar o vetor direção
. A normalização transforma o vetor em um vetor unitário na mesma direção.
Primeiro, calculamos o comprimento (magnitude) de
:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário:
Podemos racionalizar, se preferir:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção do vetor
é
ou, racionalizada,
.
Exercícios relacionados
Se
, em que
e
s. sent, determine o valor de
, quando
e
.
Utilize apenas a definição por limite
para determinar a equação inclinação da reta tangente
ao gráfico de f no ponto dado.
ponto (1,2)
Seja (
) as coordenadas do vértice da parábola
e
o ponto de interseção entre as retas
a) (2 pontos) Determine os valores de e
.
a) (2 pontos) Determine os valores de
Determine os volumes máximo e mínimo da caixa retangular cuja superfície tem 1500
e cuja soma dos comprimentos das arestas é 200 cm . Utilize o Método de Lagrange.