a derivada direcional da função no ponto (2,-1) e na direção do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente de derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma derivada direcional, calcular o gradiente da função e normalizar o vetor de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é derivada direcional. Basicamente, ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para encontrar essa derivada, usamos o gradiente da função e o vetor direção normalizado.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
No ponto :

Passo 4

Agora, precisamos normalizar o vetor direção . A normalização transforma o vetor em um vetor unitário na mesma direção.
Primeiro, calculamos o comprimento (magnitude) de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário:
Podemos racionalizar, se preferir:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é ou, racionalizada, .

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