Se
, em que
e
s. sent, determine o valor de
, quando
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função
, onde
,
e
são funções de
,
e
:
Queremos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
, nos pontos
,
e
. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais, já que
depende de
,
e
, que por sua vez dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra da cadeia, temos:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais individualmente.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
:
Passo 5
Substituindo todas as derivadas na expressão da regra da cadeia:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores
,
e
nas expressões de
,
e
:
Passo 7
Substituindo
,
,
,
,
, e
na expressão de
:
Simplificando cada parte:
Resposta
O valor de
quando
,
e
é 1440.
Exercícios relacionados
Utilize apenas a definição por limite
para determinar a equação inclinação da reta tangente
ao gráfico de f no ponto dado.
ponto (1,2)
Questão 1 ( 6 pontos) Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Sabendo que após 20 anos a população triplica, e após 40 anos a população é 200 mil habitantes,
b) ( 5 pontos) Resolva a equação diferencial apresentada no item (a) e determine a populaçăo em funçăo do tempo
Dica: não foidada a populaçăo inicial, você precisará determina-la na resolução o item b.
b) ( 5 pontos) Resolva a equação diferencial apresentada no item (a) e determine a populaçăo em funçăo do tempo
Dica: não foidada a populaçăo inicial, você precisará determina-la na resolução o item b.
a derivada direcional da função
no ponto (2,-1) e na direção do vetor
.
Seja (
) as coordenadas do vértice da parábola
e
o ponto de interseção entre as retas
a) (2 pontos) Determine os valores de e
.
a) (2 pontos) Determine os valores de