Se , em que e s. sent, determine o valor de , quando e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função , onde , e são funções de , e :
Queremos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, , nos pontos , e . Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais, já que depende de , e , que por sua vez dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usando a regra da cadeia, temos:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais individualmente.

Passo 3

Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de , e em relação a :

Passo 5

Substituindo todas as derivadas na expressão da regra da cadeia:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores , e nas expressões de , e :

Passo 7

Substituindo , , , , , e na expressão de :
Simplificando cada parte:

Resposta

O valor de quando , e é 1440.

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