Qual a derivada da função f(x)= ( x² - 1)³?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me perguntou qual é a derivada da função $ f(x) = (x^2 - 1)^3 $. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que ajuda a encontrar a derivada de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que compõem a função composta. Aqui, temos uma função externa $ u^3 $ onde $ u = x^2 - 1 $. A Regra da Cadeia nos diz que a derivada de $ f(x) = (u)^3 $ em relação a $ x $ é a derivada da função externa em relação a $ u $ multiplicada pela derivada de $ u $ em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função externa. Se $ f(u) = u^3 $, então a derivada de $ f $ em relação a $ u $ é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $. Já que $ u = x^2 - 1 $, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Passo 5
Aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
Passo 6
Agora, substituímos $ u $ de volta na equação:
Passo 7
Finalmente, simplificamos a expressão multiplicando os coeficientes:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = (x^2 - 1)^3 $ é: