Qual a derivada da função f(x)= ( x² - 1)³?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me perguntou qual é a derivada da função $ f(x) = (x^2 - 1)^3 $. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que ajuda a encontrar a derivada de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que compõem a função composta. Aqui, temos uma função externa $ u^3 $ onde $ u = x^2 - 1 $. A Regra da Cadeia nos diz que a derivada de $ f(x) = (u)^3 $ em relação a $ x $ é a derivada da função externa em relação a $ u $ multiplicada pela derivada de $ u $ em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função externa. Se $ f(u) = u^3 $, então a derivada de $ f $ em relação a $ u $ é:
f(u) = u^3

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $. Já que $ u = x^2 - 1 $, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
u

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
dfdx = dfdu cdot dudx = 3u^2 cdot 2x

Passo 6

Agora, substituímos $ u $ de volta na equação:
u

Passo 7

Finalmente, simplificamos a expressão multiplicando os coeficientes:
dfdx = 6x(x^2 - 1)^2

Resposta

A derivada da função $ f(x) = (x^2 - 1)^3 $ é:
f(x) = (x^2 - 1)^3

Exercícios relacionados