As derivadas parciais de segunda ordem da função z=f(x, y) são
ll (fx)x=fx x=partialpartial x(partial fpartial x)=partial^2 fpartial x^2 & (fx)y=fx y=partialpartial y(partial fpartial x)=partial^2 fpartial y partial x (fy)x=fy x=partialpartial x(partial fpartial y)=partial^2 fpartial x partial y & (fy)y=fy y=partialpartial y(partial fpartial y)=partial^2 fpartial y^2
O processo pode ser seguido para ordens maiores. Por exemplo, fx x y=(fx x)y=partialpartial y(partial^2 fpartial x^2)=partial^3 fpartial y partial x^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá falando. A gente quer entender as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso significa que vamos derivar a função duas vezes, mas respeitando as variáveis e . Para resolver isso, vamos precisar saber o que são derivadas parciais e como aplicá-las mais de uma vez.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma derivada parcial é quando a gente deriva uma função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante. Então, se temos , a derivada parcial em relação a é e em relação a é .

Passo 3

Agora, para as derivadas de segunda ordem, a gente vai derivar as derivadas parciais que já encontramos. Isso pode ser feito de duas maneiras para cada derivada de primeira ordem: derivando novamente em relação a ou em relação a .

Passo 4

Vamos ver como isso funciona:
  • fxx = partialpartial x(partial fpartial x) = partial^2 fpartial x^2 : É a derivada parcial de fxy = partialpartial y(partial fpartial x) = partial^2 fpartial y partial x em relação a fyx = partialpartial x(partial fpartial y) = partial^2 fpartial x partial y . Escrito em fórmula:
    fyy = partialpartial y(partial fpartial y) = partial^2 fpartial y^2
  • : É a derivada parcial de em relação a :
  • : É a derivada parcial de em relação a :
  • : É a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Olha que legal, as derivadas mistas e acabam sendo iguais, graças ao teorema de Schwarz, que diz que a ordem das derivadas pode ser trocada se a função for suficientemente suave.

Passo 6

E não para por aí! Esse processo pode continuar para derivadas de ordem ainda maior. Por exemplo, se quisermos a derivada de terceira ordem fxxy = (fxx)y = partialpartial y(partial^2 fpartial x^2) = partial^3 fpartial y partial x^2 , a gente faz assim:
Isso significa que a gente primeiro deriva duas vezes em e depois mais uma vez em .

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são , , e , definidas como mostrado acima.

Exercícios relacionados