As derivadas parciais de segunda ordem da função
são
O processo pode ser seguido para ordens maiores. Por exemplo,
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá falando. A gente quer entender as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso significa que vamos derivar a função duas vezes, mas respeitando as variáveis
e
. Para resolver isso, vamos precisar saber o que são derivadas parciais e como aplicá-las mais de uma vez.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma derivada parcial é quando a gente deriva uma função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante. Então, se temos
, a derivada parcial em relação a
é
e em relação a
é
.
Passo 3
Agora, para as derivadas de segunda ordem, a gente vai derivar as derivadas parciais que já encontramos. Isso pode ser feito de duas maneiras para cada derivada de primeira ordem: derivando novamente em relação a
ou em relação a
.
Passo 4
Vamos ver como isso funciona:
-
: É a derivada parcial de em relação a . Escrito em fórmula: -
: É a derivada parcial de em relação a : -
: É a derivada parcial de em relação a : -
: É a derivada parcial de em relação a :
Passo 5
Olha que legal, as derivadas mistas
e
acabam sendo iguais, graças ao teorema de Schwarz, que diz que a ordem das derivadas pode ser trocada se a função for suficientemente suave.
Passo 6
E não para por aí! Esse processo pode continuar para derivadas de ordem ainda maior. Por exemplo, se quisermos a derivada de terceira ordem
, a gente faz assim:
Isso significa que a gente primeiro deriva duas vezes em
e depois mais uma vez em
.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são
,
,
e
, definidas como mostrado acima.