O risco da carteira de investimentos x=(x1, ldots, xn) é definido por sigma(x)=[sumi=1^n sumj=1^n sigmai j xi xj]^1 / 2, onde sigmai j é a covariância entre os retornos dos ativos i neq j e sigmai i é a variância dos retornos do ativo i. Define-se o risco marginal ri do ativo i como a derivada parcial de sigma(x) com relação ao peso xi. Mostre que ri=1sigma(x) sumj=1^n sigmai j xj.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o risco de uma carteira de investimentos, que depende dos pesos que a gente coloca em cada ativo. A fórmula do risco, sigma(x), envolve somas das variâncias e covariâncias dos retornos dos ativos. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o risco marginal, ou seja, como o risco total muda quando a gente muda o peso de um ativo específico, xi. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula do risco:
sigma(x) = [ sumi=1^n sumj=1^n sigmaij xi xj ]^1/2
Aqui, sigmaij representa a covariância entre os retornos dos ativos i e j. Quando i = j, sigmaii é a variância do retorno do ativo i.

Passo 3

Queremos encontrar o risco marginal ri, que é a derivada parcial de sigma(x) em relação a xi:
ri = partial sigma(x)partial xi
Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia no cálculo da derivada.

Passo 4

Vamos diferenciar sigma(x) em relação a xi. Primeiro, identifiquemos a função interna:
f(x) = sumi=1^n sumj=1^n sigmaij xi xj
Então, temos:
sigma(x) = raizf(x)
A derivada de sigma(x) em relação a xi será:
partial sigma(x)partial xi = 12 f(x)^-1/2 cdot partial f(x)partial xi

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f(x) em relação a xi:
partial f(x)partial xi = sumj=1^n sigmaij xj + sumj=1^n sigmaji xj
Como a matriz de covariância é simétrica ( sigmaij = sigmaji), podemos simplificar:
partial f(x)partial xi = 2 sumj=1^n sigmaij xj

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada de sigma(x):
partial sigma(x)partial xi = 12 f(x)^-1/2 cdot 2 sumj=1^n sigmaij xj
Os fatores de 2 se cancelam, então:
partial sigma(x)partial xi = f(x)^-1/2 sumj=1^n sigmaij xj

Passo 7

Lembrando que f(x) = sigma(x)^2, temos:
f(x)^-1/2 = (sigma(x)^2)^-1/2 = 1sigma(x)
Substituindo isso na expressão anterior:
partial sigma(x)partial xi = 1sigma(x) sumj=1^n sigmaij xj

Resposta

Portanto, o risco marginal ri do ativo i é dado por:
ri = 1sigma(x) sumj=1^n sigmaij xj

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