O risco da carteira de investimentos
é definido por
, onde
é a covariância entre os retornos dos ativos
e
é a variância dos retornos do ativo
. Define-se o risco marginal
do ativo
como a derivada parcial de
com relação ao peso
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o risco de uma carteira de investimentos, que depende dos pesos que a gente coloca em cada ativo. A fórmula do risco,
, envolve somas das variâncias e covariâncias dos retornos dos ativos. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o risco marginal, ou seja, como o risco total muda quando a gente muda o peso de um ativo específico,
. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fórmula do risco:
Aqui,
representa a covariância entre os retornos dos ativos
e
. Quando
,
é a variância do retorno do ativo
.
Passo 3
Queremos encontrar o risco marginal
, que é a derivada parcial de
em relação a
:
Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia no cálculo da derivada.
Passo 4
Vamos diferenciar
em relação a
. Primeiro, identifiquemos a função interna:
Então, temos:
A derivada de
em relação a
será:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Como a matriz de covariância é simétrica (
), podemos simplificar:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da derivada de
:
Os fatores de 2 se cancelam, então:
Passo 7
Lembrando que
, temos:
Substituindo isso na expressão anterior:
Resposta
Portanto, o risco marginal
do ativo
é dado por: