(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
em relação a
se
variar e
permanecer constante.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
em relação a
se
variar e
permanecer constante.
© Suponha que
tenha um valor constante de 4 pol, mas que
varie. Determine a taxa de variação de
em relação a
no ponto onde
pol.
(d) Suponha que
tenha um valor constante de 8 pol, mas que
varie. Determine a taxa de variação de
em relação a
no ponto onde
pol.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
© Suponha que
(d) Suponha que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com cálculo de taxas de variação instantâneas, que é basicamente ver como uma quantidade muda em relação a outra. No caso, estamos lidando com o volume
de um cilindro, que depende do raio
e da altura
. Para resolver as partes (a) a (d), vamos precisar saber a fórmula do volume e entender como derivar em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro. O volume
é dado por:
Aqui,
é uma constante (~3,14),
é o raio da base do cilindro, e
é a altura.
Passo 3
Agora, para encontrar a taxa de variação instantânea de
em relação a
quando
permanece constante (parte a), vamos derivar
em relação a
. Isso significa que vamos ver como
muda quando só
muda.
A derivada de
em relação a
é:
Então, a taxa de variação instantânea de
em relação a
é
.
Passo 4
Para a parte (b), precisamos determinar a taxa de variação instantânea de
em relação a
quando
permanece constante. Ou seja, vamos derivar
em relação a
.
A derivada de
em relação a
é:
Então, a taxa de variação instantânea de
em relação a
é
.
Passo 5
Agora, na parte ©, temos que
pol e queremos encontrar a taxa de variação de
em relação a
no ponto onde
pol. Já achamos que:
Substituindo
e
:
Então, a taxa de variação de
em relação a
quando
pol e
pol é
pol³/pol.
Passo 6
Por fim, na parte (d), sabemos que
pol e queremos encontrar a taxa de variação de
em relação a
no ponto onde
pol. Já determinamos que:
Substituindo
e
:
Então, a taxa de variação de
em relação a
quando
pol e
pol é
pol³/pol.
Resposta
(a)
(b)
© pol³/pol
(d) pol³/pol
(b)
©
(d)