(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a r se r variar e h permanecer constante.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a h se h variar e r permanecer constante.
© Suponha que h tenha um valor constante de 4 pol, mas que r varie. Determine a taxa de variação de V em relação a r no ponto onde r = 6 pol.
(d) Suponha que r tenha um valor constante de 8 pol, mas que h varie. Determine a taxa de variação de V em relação a h no ponto onde h = 10 pol.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com cálculo de taxas de variação instantâneas, que é basicamente ver como uma quantidade muda em relação a outra. No caso, estamos lidando com o volume de um cilindro, que depende do raio e da altura . Para resolver as partes (a) a (d), vamos precisar saber a fórmula do volume e entender como derivar em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro. O volume é dado por:
Aqui, é uma constante (~3,14), é o raio da base do cilindro, e é a altura.

Passo 3

Agora, para encontrar a taxa de variação instantânea de em relação a quando permanece constante (parte a), vamos derivar em relação a . Isso significa que vamos ver como muda quando só muda.
A derivada de em relação a é:
Então, a taxa de variação instantânea de em relação a é .

Passo 4

Para a parte (b), precisamos determinar a taxa de variação instantânea de em relação a quando permanece constante. Ou seja, vamos derivar em relação a .
A derivada de em relação a é:
Então, a taxa de variação instantânea de em relação a é .

Passo 5

Agora, na parte ©, temos que pol e queremos encontrar a taxa de variação de em relação a no ponto onde pol. Já achamos que:
Substituindo e :
Então, a taxa de variação de em relação a quando pol e pol é pol³/pol.

Passo 6

Por fim, na parte (d), sabemos que pol e queremos encontrar a taxa de variação de em relação a no ponto onde pol. Já determinamos que:
Substituindo e :
Então, a taxa de variação de em relação a quando pol e pol é pol³/pol.

Resposta

(a)
(b)
© pol³/pol
(d) pol³/pol

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