Para as funções abaixo, calcule f_xx, f_xy, f_yy e f_yx e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
(a) f(x, y) = (4xy - 3y^3)^3 + 5x^2y
(b) f(x, y) = x^2 * ln(1 + x^2 + y^2)
© z = arctan((x+y)/(1 - x*y))
(d) z = x * sen(y) / cos(x^2 + y^2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcularmos as segundas derivadas parciais e das funções dadas. Além disso, vamos verificar se o Teorema de Schwarz é válido para cada caso. Para isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas parciais e entender o que o Teorema de Schwarz afirma sobre elas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:

(a)

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem e .
Derivada parcial em relação a :
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar a parte elevada ao cubo e a derivada da segunda parte é direta.
Derivada parcial em relação a :
Novamente, aplicamos a regra da cadeia para a primeira parte e derivamos a segunda parte normalmente.

Passo 3

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais.
Segunda derivada em relação a ( ):
Segunda derivada mista :
Simplificando:
Segunda derivada em relação a ( ):
Após simplificação:
Segunda derivada mista :

Passo 4

Agora, vamos verificar o Teorema de Schwarz, que afirma que se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, então .
No nosso caso, vimos que:
Portanto, o Teorema de Schwarz é válido para essa função.

Passo 5

Continuando, vamos resolver as demais funções seguindo o mesmo processo de cálculo das derivadas parciais de segunda ordem e verificar o Teorema de Schwarz para cada uma.

(b)

Derivadas parciais de primeira ordem:
Segundas derivadas parciais:
Aplicando o Teorema de Schwarz:
Como todas as derivadas são contínuas, temos , então o teorema é válido.

Passo 6

Vamos agora para a terceira função:

©

Derivadas parciais de primeira ordem:
Primeiro, vamos chamar , então .
Simplificando:
Analogamente para :
Segundas derivadas parciais:
Calculando , , e , veremos que após simplificação:
Aplicando o Teorema de Schwarz:
Como , o teorema é válido.

Passo 7

Finalmente, vamos resolver a última função:

(d)

Derivadas parciais de primeira ordem:
Simplificando:
Simplificando:
Segundas derivadas parciais:
Após cálculos mais complexos, obteremos e , que serão iguais graças à continuidade das derivadas.
Aplicando o Teorema de Schwarz:
Como , o teorema é válido.

Resposta

Para a função (d) :
O Teorema de Schwarz é válido, pois .

Fim

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