Para as funções abaixo, calcule
e
e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcularmos as segundas derivadas parciais
e
das funções dadas. Além disso, vamos verificar se o Teorema de Schwarz é válido para cada caso. Para isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas parciais e entender o que o Teorema de Schwarz afirma sobre elas.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
(a)
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar a parte elevada ao cubo e a derivada da segunda parte é direta.
Derivada parcial em relação a
:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia para a primeira parte e derivamos a segunda parte normalmente.
Passo 3
Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais.
Segunda derivada em relação a
(
):
Segunda derivada mista
:
Simplificando:
Segunda derivada em relação a
(
):
Após simplificação:
Segunda derivada mista
:
Passo 4
Agora, vamos verificar o Teorema de Schwarz, que afirma que se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, então
.
No nosso caso, vimos que:
Portanto, o Teorema de Schwarz é válido para essa função.
Passo 5
Continuando, vamos resolver as demais funções seguindo o mesmo processo de cálculo das derivadas parciais de segunda ordem e verificar o Teorema de Schwarz para cada uma.
(b)
Derivadas parciais de primeira ordem:
Segundas derivadas parciais:
Aplicando o Teorema de Schwarz:
Como todas as derivadas são contínuas, temos , então o teorema é válido.
Como todas as derivadas são contínuas, temos
Passo 6
Vamos agora para a terceira função:
©
Derivadas parciais de primeira ordem:
Primeiro, vamos chamar , então
.
Primeiro, vamos chamar
Simplificando:
Analogamente para
:
Segundas derivadas parciais:
Calculando ,
,
e
, veremos que após simplificação:
Calculando
Aplicando o Teorema de Schwarz:
Como , o teorema é válido.
Como
Passo 7
Finalmente, vamos resolver a última função:
(d)
Derivadas parciais de primeira ordem:
Simplificando:
Simplificando:
Segundas derivadas parciais:
Após cálculos mais complexos, obteremos e
, que serão iguais graças à continuidade das derivadas.
Após cálculos mais complexos, obteremos
Aplicando o Teorema de Schwarz:
Como , o teorema é válido.
Como
Resposta
Para a função (d)
:
O Teorema de Schwarz é válido, pois
.