Derivando a série de Fourier de
para o intervalo
e
, obtenha a série de
no intervalo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para derivar a série de Fourier de
no intervalo
com periodicidade
e, a partir disso, obter a série de
no mesmo intervalo e periodicidade. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier, como coeficientes de Fourier, e operações como derivação de séries. Não precisa se preocupar se não conhece tudo ainda, vou explicar cada passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier. Ela permite representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para
, que é uma função par (simétrica em relação ao eixo y), a série de Fourier vai conter apenas termos de cosseno.
A série geral de Fourier para uma função par no intervalo
é:
Onde os coeficientes
são dados por:
Vamos calcular esses coeficientes para
.
Passo 3
Calcular
:
Como
é uma função par, podemos simplificar:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
:
Como
também é uma função par, podemos simplificar a integral:
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes duas vezes.
Primeira integração por partes:
Escolha
e
, então
e
.
Aplicando:
Segunda integração por partes para
:
Escolha
e
, então
e
.
Aplicando:
Voltando à primeira parte:
Agora avaliamos de 0 a π:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Agora que temos os coeficientes, a série de Fourier para
é:
Passo 6
O próximo passo é obter a série de
a partir da derivação da série de
. Sabemos que se
é a derivada de
, então podemos derivar a série de Fourier de
termo a termo para obter a série de Fourier de
.
Derivando
:
Simplificando:
Resposta
A série de Fourier para
no intervalo
com periodicidade
é:
Exercícios relacionados
Dada a função
,
Desenvolva em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período 4 .
Desenvolva
Se
e
são duas funções periódicas com período
, então
também é uma função periódica com período
.
Desenvolva
em série de Fourier.
Rsp:
Rsp:
Utilizem o item
e o Teorema de Parserval para obter