Derivando a série de Fourier de para o intervalo e , obtenha a série de no intervalo e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para derivar a série de Fourier de no intervalo com periodicidade e, a partir disso, obter a série de no mesmo intervalo e periodicidade. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier, como coeficientes de Fourier, e operações como derivação de séries. Não precisa se preocupar se não conhece tudo ainda, vou explicar cada passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier. Ela permite representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para , que é uma função par (simétrica em relação ao eixo y), a série de Fourier vai conter apenas termos de cosseno.
A série geral de Fourier para uma função par no intervalo é:
Onde os coeficientes são dados por:
Vamos calcular esses coeficientes para .

Passo 3

Calcular :
Como é uma função par, podemos simplificar:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes para :
Como também é uma função par, podemos simplificar a integral:
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes duas vezes.
Primeira integração por partes:
Escolha e , então e .
Aplicando:
Segunda integração por partes para :
Escolha e , então e .
Aplicando:
Voltando à primeira parte:
Agora avaliamos de 0 a π:
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora que temos os coeficientes, a série de Fourier para é:

Passo 6

O próximo passo é obter a série de a partir da derivação da série de . Sabemos que se é a derivada de , então podemos derivar a série de Fourier de termo a termo para obter a série de Fourier de .
Derivando :
Simplificando:

Resposta

A série de Fourier para no intervalo com periodicidade é:

Exercícios relacionados

Dada a função ,
Desenvolva em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de de período 4 .
Se e são duas funções periódicas com período , então também é uma função periódica com período .
Desenvolva em série de Fourier.
Rsp:
Utilizem o item e o Teorema de Parserval para obter