Dada a função ,
Desenvolva em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de de período 4 .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para desenvolver a função em série de Fourier de cossenos e fazer o gráfico da extensão periódica correspondente com período 4. A função dada é:
Vamos usar a teoria das séries de Fourier, especificamente a série de Fourier de cossenos, que é útil para funções pares ou definidas em intervalos simétricos. Precisaremos calcular os coeficientes dessa série e então expressar a função como a soma desses termos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. O enunciado diz que a extensão periódica tem período 4, então e a frequência fundamental é .
Passo 3
Como queremos a série de Fourier de cossenos, assumimos que a função é par em relação ao eixo y. Isso significa que estenderemos de forma que .
Passo 4
A série de Fourier de cossenos para uma função par com período é dada por:
onde e os coeficientes são calculados por:
Passo 5
Vamos calcular o coeficiente :
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes para :
Vamos resolver essa integral por partes:
Resolvendo cada integral:
Substituindo os limites de 0 a 1, obtemos:
Passo 7
Agora, podemos escrever a série de Fourier de :
Passo 8
Finalmente, para fazer o gráfico da extensão periódica de com período 4, plotaremos a função definida nos intervalos de e estenderemos este padrão periodicamente para todo o eixo .
Resposta
A série de Fourier de cossenos da função é:
E o gráfico da extensão periódica de tem período 4, repetindo-se a cada intervalo de 4 unidades no eixo .