Dada a função f(t) = { 1 - x, 0 < x < 1; 0, 1 < x < 2 },
Desenvolva f(x) em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(x) de período 4 .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para desenvolver a função em série de Fourier de cossenos e fazer o gráfico da extensão periódica correspondente com período 4. A função dada é:
Vamos usar a teoria das séries de Fourier, especificamente a série de Fourier de cossenos, que é útil para funções pares ou definidas em intervalos simétricos. Precisaremos calcular os coeficientes dessa série e então expressar a função como a soma desses termos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. O enunciado diz que a extensão periódica tem período 4, então e a frequência fundamental é .

Passo 3

Como queremos a série de Fourier de cossenos, assumimos que a função é par em relação ao eixo y. Isso significa que estenderemos de forma que .

Passo 4

A série de Fourier de cossenos para uma função par com período é dada por:
onde e os coeficientes são calculados por:

Passo 5

Vamos calcular o coeficiente :

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes para :
Vamos resolver essa integral por partes:
Resolvendo cada integral:
Substituindo os limites de 0 a 1, obtemos:

Passo 7

Agora, podemos escrever a série de Fourier de :

Passo 8

Finalmente, para fazer o gráfico da extensão periódica de com período 4, plotaremos a função definida nos intervalos de e estenderemos este padrão periodicamente para todo o eixo .

Resposta

A série de Fourier de cossenos da função é:
E o gráfico da extensão periódica de tem período 4, repetindo-se a cada intervalo de 4 unidades no eixo .

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