Se e são duas funções periódicas com período , então também é uma função periódica com período .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo perguntado. Temos duas funções, e , que são periódicas com o mesmo período . Isso significa que, para qualquer valor de , se você adicionar a , a função retorna ao mesmo valor:
A questão quer saber se uma combinação dessas funções, especificamente (onde e são constantes), também é uma função periódica com o mesmo período .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função periódica e como combinações lineares de funções periódicas se comportam.

Passo 2

Vamos relembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função é periódica com período se, ao adicionar a , a função retorna ao mesmo valor:
Queremos verificar se a função também satisfaz essa condição.

Passo 3

Vamos aplicar o período na função :
Como e são periódicas com período , sabemos que:
Substituindo essas igualdades na expressão de :

Passo 4

Comparemos agora com :
Isso mostra que, quando adicionamos a na função , ela retorna ao mesmo valor de .

Resposta

Portanto, é uma função periódica com período .

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Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais: , onde é o campo vetorial em dado por e a curva é dada por .
Avalie os seguintes integrais de linha: , onde , e onde é a curva parametrizada por ,
Dada a função ,
Desenvolva em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de de período 4 .
Derivando a série de Fourier de para o intervalo e , obtenha a série de no intervalo e .