Derivar .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: temos a equação e precisamos derivar essa expressão. Aqui, estamos lidando com funções envolvendo múltiplas variáveis (x, y e z). Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do poder e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que queremos encontrar a derivada parcial dessa expressão em relação a uma das variáveis. Vamos começar derivando em relação a . Quando fazemos derivadas parciais, tratamos as outras variáveis como constantes.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação em relação a :
  1. :
    • Derivada:
    • Explicação: Aplicamos a regra do poder em , multiplicando pelo coeficiente 2.
  2. :
    • Derivada:
    • Explicação: A derivada de em relação a é 1, então apenas multiplicamos os coeficientes e as constantes.
  3. :
    • Derivada:
    • Explicação: Similar ao termo anterior, a derivada de é 1.
  4. :
    • Derivada:
    • Explicação: Não há nesse termo, então a derivada é zero.
  5. :
    • Derivada:
    • Explicação: A derivada de uma constante é sempre zero.

Passo 4

Agora, somamos todas as derivadas parciais que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A derivada parcial da expressão em relação a é:

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Determine as derivadas parciais de: , onde e .
Calcule a derivada da função no ponto e na direção do vetor , sendo e .
Os lados de um triângulo em certo instante mediram e 70 cm . Sabendo-se que os dois primeiros crescem à razão de e , respectivamente, e o terceiro decresce à razão de , determine a velocidade de variação do ângulo formado pelos dois primeiros lados, no instante considerado.
Dada a função , Pesquise quanto ao máximo e mínimo, cada função: , com x , y e z não nulos.