Determine as derivadas parciais de: z = sen(x) y + e^(x - y), onde x = rho sen(theta) e y = rho * cos(theta).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de , onde e . Aqui, vamos trabalhar com derivadas parciais usando a regra da cadeia, já que depende de e , que por sua vez dependem de e .

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar em termos de e . Substituímos e nas funções:
Simplificando a primeira parte:
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por . Aplicamos a regra da cadeia:
Aqui, derivamos cada termo de em relação a , lembrando que e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Aqui, derivamos cada termo de em relação a , considerando que e .

Resposta

As derivadas parciais são:

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