Os lados de um triângulo em certo instante mediram
e 70 cm . Sabendo-se que os dois primeiros crescem à razão de
e
, respectivamente, e o terceiro decresce à razão de
, determine a velocidade de variação do ângulo formado pelos dois primeiros lados, no instante considerado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo cujos lados medem 60 cm, 40 cm e 70 cm num certo momento. Os dois primeiros lados estão crescendo a taxas de 1 cm/s e 2 cm/s, respectivamente, e o terceiro está diminuindo a 2 cm/s. Nosso objetivo aqui é descobrir quão rápido está mudando o ângulo formado pelos dois primeiros lados nesse instante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os lados e o ângulo de interesse. Vamos chamar os lados de:
-
cm (cresce a 1 cm/s) -
cm (cresce a 2 cm/s) -
cm (diminui a 2 cm/s)
E queremos encontrar a taxa de variação do ângulo
formado entre os lados
e
.
Passo 3
Para relacionar os lados e o ângulo, vamos usar a Lei dos Cossenos, que diz:
Essa fórmula conecta os três lados de um triângulo com o cosseno do ângulo entre eles.
Passo 4
Vamos diferenciar essa equação em relação ao tempo
para achar como
está mudando. Aplicando a derivada:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Vamos agora calcular
e
usando a Lei dos Cossenos com os valores dados:
E para
, usamos:
Passo 7
Vamos agora substituir todos os valores na equação da taxa de variação:
Calculando numerador:
Então:
Denominador:
Passo 8
Finalmente, a taxa de variação do ângulo é:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A velocidade de variação do ângulo formado pelos dois primeiros lados no instante considerado é
rad/s.
Exercícios relacionados
Derivar
.
Determine as derivadas parciais de:
, onde
e
.
Dada a função
, Pesquise quanto ao máximo e mínimo, cada função:
, com x , y e z não nulos.
Sendo
a função potencial de um certo campo eletrostático, determine a intensidade do campo no ponto
.