Os lados de um triângulo em certo instante mediram e 70 cm . Sabendo-se que os dois primeiros crescem à razão de e , respectivamente, e o terceiro decresce à razão de , determine a velocidade de variação do ângulo formado pelos dois primeiros lados, no instante considerado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo cujos lados medem 60 cm, 40 cm e 70 cm num certo momento. Os dois primeiros lados estão crescendo a taxas de 1 cm/s e 2 cm/s, respectivamente, e o terceiro está diminuindo a 2 cm/s. Nosso objetivo aqui é descobrir quão rápido está mudando o ângulo formado pelos dois primeiros lados nesse instante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os lados e o ângulo de interesse. Vamos chamar os lados de:
  • cm (cresce a 1 cm/s)
  • cm (cresce a 2 cm/s)
  • cm (diminui a 2 cm/s)
E queremos encontrar a taxa de variação do ângulo formado entre os lados e .

Passo 3

Para relacionar os lados e o ângulo, vamos usar a Lei dos Cossenos, que diz:
Essa fórmula conecta os três lados de um triângulo com o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 4

Vamos diferenciar essa equação em relação ao tempo para achar como está mudando. Aplicando a derivada:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Vamos agora calcular e usando a Lei dos Cossenos com os valores dados:
E para , usamos:

Passo 7

Vamos agora substituir todos os valores na equação da taxa de variação:
Calculando numerador:
Então:
Denominador:

Passo 8

Finalmente, a taxa de variação do ângulo é:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A velocidade de variação do ângulo formado pelos dois primeiros lados no instante considerado é rad/s.

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