Calcule a derivada da função no ponto e na direção do vetor , sendo e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor , onde e . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o vetor direção e aplicar a fórmula da derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor . Para isso, subtraímos as coordenadas de A das de B:
Esse é o vetor na direção em que queremos calcular a derivada.
Passo 3
Agora, precisamos transformar esse vetor direção em um vetor unitário, ou seja, de comprimento 1. Para isso, calculamos o módulo do vetor:
Então, o vetor unitário é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função:
Calculando cada derivada parcial:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Primeiro, calculamos o valor de nesse ponto:
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 6
Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário :
Resposta
A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .