Derive as derivadas parciais indicadas:
f(x, y, z) = raiz(sen(x) + sen(y) + sen(z)) ; f(0, 0, pi/4)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e no ponto .
Para resolver isso, precisamos utilizar o conceito de derivadas parciais, que nos permite calcular a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Além disso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivar a função composta que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função pode ser reescrita como:
Usando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Aplicando a mesma regra da cadeia:

Passo 4

Por último, vamos determinar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Mais uma vez, aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora que temos as expressões gerais das derivadas parciais, vamos substituí-las no ponto específico .
Primeiro, calculamos e .
Portanto:
E:

Passo 6

Vamos agora calcular cada derivada parcial no ponto dado:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

As derivadas parciais de no ponto são:

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