Derive y = x e^(1/x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para derivar a função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente usando a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas. Vamos precisar lembrar como derivar funções que são produtos de duas funções e também como derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função que estão sendo multiplicadas. A nossa função é , onde:
Para derivar uma função que é o produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é:

Passo 3

Vamos calcular cada parte dessa regra separadamente. Primeiro, precisamos derivar .
A derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Para isso, usamos a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.
A regra da cadeia nos diz que:
onde .
Então, primeiro derivamos :
Agora, aplicamos a regra da cadeia:

Passo 5

Agora que temos e , podemos aplicar a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A derivada da função é:

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