Derive uma expressão para o tempo de trânsito de um raio de luz que viaja uma distância x1 através de um meio com índice de refração n1, uma distância x2 através de um meio com índice de refração n2, ldots, e uma distância xm através de um meio com índice de refração nm. Use um somatório para expressar seu resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma expressão para o tempo de trânsito de um raio de luz que passa por várias camadas, cada uma com uma distância específica e um índice de refração diferente. O conteúdo aqui é de Óptica e, mais especificamente, de como a luz se comporta em diferentes meios. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como o índice de refração afeta a velocidade da luz e como calcular o tempo que ela leva para percorrer cada camada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o índice de refração. O índice de refração ( n) de um meio indica o quão rápido a luz se propaga nesse meio. A fórmula para a velocidade da luz em um meio é:
v = cn
Aqui, c é a velocidade da luz no vácuo, que é aproximadamente 3 times 10^8 , m/s.

Passo 3

Agora, vamos pensar no tempo de trânsito ( t) que a luz leva para percorrer uma certa distância ( x) em um meio com índice de refração n. A fórmula básica para o tempo é:
t = xv
Substituindo a velocidade v pela expressão que encontramos antes:
t = xcn = n cdot xc
Isso significa que o tempo que a luz leva para passar por uma distância x em um meio com índice de refração n é n cdot xc.

Passo 4

Como o exercício fala de múltiplas camadas, cada uma com sua própria distância xi e índice de refração ni, o tempo total de trânsito ( T) será a soma dos tempos em cada camada. Usando a expressão que encontramos no passo anterior para cada camada, temos:
T = sumi=1^m ni cdot xic
Aqui, o somatório vai de i = 1 até i = m, onde m é o número total de camadas.

Resposta

A expressão para o tempo de trânsito é:
T = sumi=1^m ni cdot xic

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